专题16 几何图形之隐圆模型-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题16 几何图形之隐圆模型 【模型精讲】 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 模型二、直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 【真题精选】 1.（2020·成都）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3， 设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t， 在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴当t最大即EP最大时，PQ最大，由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=； 设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2， ∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴， ∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴， ∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O， ∴，∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小， 连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1， ∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，， ∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，． 【例题讲解】 例1. （动点定长模型）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小． 构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 例2.（直角圆周角模型）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【答案】 【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． 例3.（四点共圆模型）如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆， ∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中点，∴BF＝DE， ∴当DE最小时，BF的值最小， ∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小， ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝， ∵△ABC∽△ADE，∴，∴， ∴DE＝4，∴BF＝2，故选B． 【课后训练】 1.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 【答案】8 【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可． 2.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A．2－2 B．2 C．3－1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得：BM＝CN， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4， 在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN， ∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的， 连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4