专题15 几何图形之将军饮马问题-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题15 几何图形之将军饮马问题 【模型精讲】 模型一、两定一动模型 模型二、一定两动 【真题精选】 1．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　　． 【解析】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°， ∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C， ∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′， 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EHAD，∴DE＝1，∴DE＝CD， ∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2CD． 故答案为：． 【例题讲解】 例题1. （一动两定）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　　． 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2， 即PA+PB的最小值为2．故答案为：2． 例2．（一定两动）已知：如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，AC，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是　． 【解析】解：如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K． 由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN， ∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小， ∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形， ∴MNAE，∴当AE的值最小时，MN的值最小， ∵AC＝4，∴AK＝KC＝4，∵AB＝6，∴BK＝AB﹣AK＝2， 在Rt△BKC中，∵∠BKC＝90°，BK＝2，CK＝4，∴BC2， ∵•BC•AH•AB•CK，∴AH， 根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为， ∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．故答案为． 【课后训练】 1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝9，AD＝18，M，N是直线BC上的动点，且MN＝3，则OM+ON最小值＝　3　． 【解析】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形， ∴MN＝PQ＝3，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON， 当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长， 连接PO，交BC于E， 由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP， 又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OEAB＝4.5， ∴OP＝2×4.5＝9，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP， ∴Rt△OPQ中，OQ3，∴OM+ON的最小值是3，故答案为：3． 2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？ 【答案】∠ECF＝30º 【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示： ∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC， ∵EM∥BC，∴AD⊥EM， ∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM， ∴∠ECF＝∠ACB＝30º. 3.如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥ AB，过点D作DE⊥AC于点F，D