专题14 几何图形之翻折问题-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题14 几何图形之翻折问题 【真题精选】 1．（2021·成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作： 第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　1　； 第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　　． 【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J． ∵四边形ABFT是矩形，∴AB＝FT＝4,BF＝AT, ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90° ∴AC＝＝4, ∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°,∴∠TFE＝∠DAC, ∵∠FTE＝∠D＝90°,∴△FTE∽△ADC,∴＝＝,∴＝＝, ∴TE＝2,EF＝2,∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1, 设A′N＝x,∵NM垂直平分线段EF,∴NF＝NE, ∴12+(4﹣x)2＝32+x2,∴x＝1,∴FN＝＝＝, ∴MN＝＝＝,故答案为：1，。 2．（2018•成都）如图，在菱形ABCD中，tanA，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为　　． 【解析】解：延长NF与DC交于点H， ∵∠ADF＝90°，∴∠A+∠FDH＝90°， ∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠DFN，∴∠A＝∠DFH，∴∠FDH+∠DFH＝90°， ∴NH⊥DC，设DM＝4k，DE＝3k，EM＝5k，∴AD＝9k＝DC，DF＝6k， ∵tanA＝tan∠DFH，则sin∠DFH，∴DHDFk，∴CH＝9kkk， ∵cosC＝cosA，∴CNCH＝7k，∴BN＝2k，∴． 3．（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG＝　　cm． 【解析】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG＝AB＝AC′， ∵GF⊥AA′，∴∠AFG+∠FAK＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°，∴∠MGF＝∠KAC′，∴△AKC′≌△GFM， ∴GF＝AK，∵AN＝4.5cm，A′N＝1.5cm，C′K∥A′N，∴，∴， ∴C′K＝1cm，在Rt△AC′K中，AKcm，∴FG＝AKcm，故答案为． 4．（2018•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序号） ①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF； ③当A、F、C三点共线时，AE；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF． 【解析】解：如图1中，当AE＝EB时，∵AE＝EB＝EF，∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠CEF＝∠CEB，∠BEF＝∠EAF+∠EFA，∴∠BEC＝∠EAF，∴AF∥EC，故①正确， 作EM⊥AF，则AM＝FM，在Rt△ECB中，EC， ∵∠AME＝∠B＝90°，∠EAM＝∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴，∴， ∴AM，∴AF＝2AM，故②正确， 如图2中，当A、F、C共线时，设AE＝x． 则EB＝EF＝3﹣x，AF2， 在Rt△AEF中，∵AE2＝AF2+EF2，∴x2＝（2）2+（3﹣x）2，∴x，∴AE， 故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF＝∠ECF＝∠ECB＝30°，显然不符合题意，故④错误， 故答案为①②③． 【例题讲解】 例1．（四边形翻折问题）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上，如图2所示，然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上，如图3所示，则线段GH的长度为　　． 【解析】如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N， ∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，∴四边形ABEF为正方形，∴AF＝AB＝10， ∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10， 设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x， 又由折叠的可知DG＝DC＝10， 在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝1