专题11 圆与锐角三角函数-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题11 圆与锐角三角函数 【真题精选】 1．（2021·雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC． 【解答】证明：（1）连接OC，OD，∵OC＝OD，AB⊥CD，∴∠COE＝∠DOE， 在△COE和△DOE中，， ∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE， ∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠OCE＝90°， ∵OD是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线； （2）解：过D作DF⊥CE于F，由（1）知，∠OCE＝90°， 在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，∴OE＝＝＝5， ∵AB⊥CD，∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE， ∴3×4＝5CP，∴CP＝， ∵OC＝OD，AB⊥CD，∴CP＝DP，∴CD＝2CP＝， 在Rt△CPE中，PE＝＝＝， ∵CE，DE是⊙O的切线，∴DE＝CE＝4， ∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，∴4DF＝×，∴DF＝， 在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝． 2.（2021·自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD. （1） 求证：∠DAE=∠DAC； （2） 求证：DF·AC=AD·DC； （3） 若sin∠C=，AD=，求EF的长. 【解析】（1）连接OD，∵DC为⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90° ∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠ODC=90°，∴AE∥OD，∴∠ODA=∠DAE 又∵OD=OA=r，∴∠ODA=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC （2） 证明：连接BD，设∠DAE=α，又（1）可知∠CAD=∠DAE=α， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=90°-α， 又∵四边形ABDF为⊙O的内接四边形，∴∠AFD+∠ABD=180°，∴∠AFD=90°+α ∵∠CDO=90°，∴∠ADC=90°+α 在△AFD和△ADC中有∠AFD=∠ADC，∠FAD=∠DAC，∴△AFD∽△ADC ∴，即DF·AC=AD·DC （3） 设OD=x，在Rt△COD中sin∠C=，∴OC=4x，根 据勾股定理可得CD=， ∵OA、OB、OD均为⊙O的半径，∴OA=x， ∵OD∥AE，∴△COD∽△CAE， ∴，∴AE=，，故. 由（2）可知△AFD∽△ADC，∴，且，可得 在Rt△ADE中，，∴，∴ ∴=4，=10，∴EF=AE-AF=10-4=6 3．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E． （1）求证：； （2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长． 【解析】证明：（1）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD ∴∠OBC＝∠CBD，∴ （2） 连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4 ∵， ∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CB•CE＝4×1，∴AC＝2， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB2，∴⊙O的半径为 （3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°，∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA，∴△APC∽△CPB ∴，∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB，∴4PA2＝PA×（PA+2） ∴PA，∴PO ∵PQ∥BC，∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90° ∴△PHO∽△BCA，∴，即 ∴PH，OH ∴HQ ∴PQ＝PH+HQ 4．（2018•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE＝8，sinB，求DG的长， 【解析】（1）证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC， ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线； （2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB