专题10 圆与相似-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题10 圆与相似 【真题精选】 1．（2021·成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长． 【解答】（1）证明：连接OC,如图： ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC,∴∠ABC＝∠BCO, 又∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线； （2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图： ∵⊙O的半径为，∴AB＝2，∵△ABC的面积为2, ∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，∴CM＝2， Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,∴∠BCM＝∠A, ∴tan∠BCM＝tanA,即＝,∴＝,解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去）， ∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,∴∠BCD＝∠BCM, 而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,∴△BCM≌△BCN(AAS),∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1， ∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,∴△DBN∽△DCM,∴＝＝, 即＝＝，解得DN＝2﹣2，∴CD＝DN+CN＝2; （3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图： ∵CM⊥AB，EH⊥AB，∴＝＝, ∵＝，∴＝＝，由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，∴HE＝1，MF＝2HF, Rt△OEH中，OH＝＝＝2，∴AH＝OA﹣OH＝﹣2， 设HF＝x,则MF＝2x, 由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2, 解得：x＝1,∴HF＝1,MF＝2,∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1． 2．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H． （1）求证：∠C＝∠AGD； （2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长． 【解析】（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD， ∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C； （2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC， ∴，∴，∴AC＝9，∴AB3， ∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC， ∴△AHE∽△ABC，∴，∴，∴AH，EH＝2， 如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴，∴，∴FH，∴EF2． 3．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：∠CAD＝∠CAB； （2）若，AC＝2，求CD的长． 【解析】（1）证明：如图1，连接OC， ， ∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4． ∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，即∠CAD＝∠CAB． （2）解：如图2， 连接BC，∵，∴设AD＝2x，AB＝3x， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴，∴， 解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），∴AD＝4，∴CD2． 4．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E． （1）求证：； （2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长． 【解析】证明：（1）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴ （2）连接AC， ∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4 ∵，∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴， ∴AC2＝CB•CE＝4×1，∴AC＝2， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB2，∴⊙O的半径为 （3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ， ∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90° ∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA，∴△APC