专题09 圆切线的两种证明方法-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题09 圆切线的两种证明方法 【真题精选】 1．（2021·成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； 【解答】（1）证明：连接OC,如图： ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC,∴∠ABC＝∠BCO,又∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°， ∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线； 2．（2021·乐山）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）连接OC，如图： ∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC， ∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°， ∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD， CD是⊙O的切线； 3．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OD的长； （3）求线段BM的长． 【解析】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°， ∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线； （2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴ODOB， ∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1； （3） ∵OD＝1，∴DE＝2，BD， ∴BE， ∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O 的割线， ∴BD2＝BM•BE， ∴BM． 4．（2018•凉山州）已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：（1）MC是⊙O的切线； 【解析】证明：（1）连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 即∠2+∠3＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，而∠1＝∠B，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝90°， 即∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴MC是⊙O的切线； 【例题讲解】 例1．（有切点、连半径、证垂直）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接， ，，又， ，， 又，，即， ，即，是的切线， （2）连接，得， ∵AB=AC，是的中点，∴BD=CD， 在Rt△ABD中，，∴，， ∵，，∴∠DEC=∠ADC=90°， ∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，∴∠CDE=∠DAC， ，，即，． 【变式训练1】如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B． （1）求证：PB是☉O的切线； （2）若AB＝6，，求PO的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接OB， ∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，∴∠PAO＝， ∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB，又OP＝OP，∴△PAO△PBO， ∴∠PBO＝∠PAO＝，即OB⊥PB，∴PB是☉O的切线； （2）解：设OP与AB交于点D． ， ∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝， ∵，∴PA＝5，∴PD＝， 在Rt△APD和Rt△APO中， ∵，∴，∴． 【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，BE交AC于点F，BC＝FC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BF＝3EF，求tan∠ACE的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接AE，如图， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∴∠EAF+∠AFE＝∠EAB+∠ABE＝90°． ∵点E是弧AD的中点，∴．∴∠EAD＝∠ABE．∴∠AFE+∠ABE＝90°． ∵∠AFE＝∠BFC，∴∠ABE+∠CFB＝90°． ∵BC＝FC，∴∠CFB＝∠CBF．∴∠CBF+∠ABE＝90°．∴∠ABC＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线． （2）连接OE，BD， ∵点E是弧AD的中点，∴OH⊥AD，AH＝HD＝． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD．∴BD∥OE．∴． ∵BF＝3EF，∴．设EH＝2a，则BD＝6a．∵OE∥BD，OA＝OB，∴OF＝BD＝3a． ∴OA＝OE＝OH+HE＝5a．∴AB