专题08 交点问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题08 交点问题 【真题精选】 1．（2021·巴中）如图，双曲线y与直线y＝kx+b交于点A(﹣8，1)、B(2，﹣4)，与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E(1，0)，连接AE、BE． （1）求m，k，b的值； （2）求ABE的面积； （3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【详解】解：（1）将A(﹣8，1)、B(2，﹣4)代入直线y＝kx+b得：，解得 将A(﹣8，1)代入双曲线y得：，解得 （2）将代入直线得，，即 将代入直线得，，即 ∵E(1，0)，∴，， 由图像可得 （3）设直线解析式为，将E(1，0)、代入，得：，解得 ∴直线解析式为，直线ED向上平移n（n＞0）个单位，则，联立双曲线得： ，化简得，∵与双曲线y有唯一交点，∴， 解得，又∵n＞0，∴ 【例题讲解】 例1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点A（，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）以线段OA为边向右作菱形OABC，顶点C在x轴上，边BC与反比例函数y的图象交于点D，求D点的坐标． 【解析】解：（1）正比例函数y＝2x的图象经过点A（，a），∴a＝2，则A（，2）， ∵反比例函数y的图象经过点A（，2），∴k210，∴反比例函数的解析式为y； （2）由（1）知，A（，2），∴OA＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AO，BC＝OC＝AO＝5， ∴直线BC可以看作是直线OA向右平移5个单位长度得到，∴直线BC的解析式为y＝2（x﹣5）＝2x﹣10①， ∵反比例函数的解析式为y（x＞0）②， 联立①②解得，或，∴D（，35）． 例2.如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD． （1）求直线AB的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围． 【解析】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2． （2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°， ∵正方形ABCD，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAF． 在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS）， ∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1， ∴点D的坐标为（3，1）． （3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）． 当双曲线过点D时，k＝3×1＝3； 当双曲线过点C时，k＝2×3＝6， ∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6． 【课后训练】 1．如图，直线AB与x轴交于点A（，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，双曲线y经过点C． （1）求直线AB和双曲线y的解析式． （2）平移直线AB，使它与双曲线y（x＜0）有唯一公共点P时，求点P的坐标． 【解析】（1）∵点B的坐标为（0，2），则设直线AB的表达式为：y＝mx+2， 将点A的坐标代入上式并解得：m＝2，故直线AB的表达式为：y＝2x+2， 过点C作CH⊥x轴于点H， 则∠1+∠2＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3， ∵AB＝AC，∴△ACH≌△BAO（AAS），∴AH＝OB＝2，CH＝AO， 故点C（﹣3，），∴k＝﹣318， 故反比例函数表达式为：y； （2）设平移后AB的表达式为：y＝2x+n，则2x+n，即2x2+nx+18＝0， ∵△＝n2﹣4×2×18＝0，解得：n＝12（舍去负值），此时，x1＝x23， 故y6，故点P的坐标为（﹣3，6）． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx﹣5和y＝2x的图象相交于点A，反比例函数y的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线yx﹣5，沿y轴正方向向上平移m（m＞0）个单位长度得到的新直线l与反比例函数y（x＜0）的图象只有一个公共点，求新直线l的函数表达式． 【解析】（1）解：将解析式联立得解之得，∴点A（﹣2，﹣4）， ∵反比例函数y的图象经过点A． ∴﹣4，k＝8，∴反比例函数解析式为y； （2）据题意设直线l函数表达式为：y5+m， 将解析式联立得，消去y得5+m， 去分母得2+（m﹣5）x﹣8＝0， 据题意有△＝（m﹣5）2﹣4×（）×（﹣8）＝0，解之得m＝1或9 又反比例函数中x＜0，∴m＝1， ∴新直线l函数表达式为：y4． 3．如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y交于A（﹣2，4），B两点． （1）求直线A