专题07 相似三角形问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题07 相似三角形问题 【真题精选】 1．（2017•遂宁）如图，直线y1＝mx+n（m≠0）与双曲线y2（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）求m，n的值； （2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线y2（k≠0）上， ∴k＝﹣1×2＝2b，解得b＝﹣1．∴B（2，﹣1）． ∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直线y1＝mx+n（m≠0）上， ∴，解得，∴m，n的值分别是﹣1、1； （2）在y轴上存在这样的点P，理由如下： ①如图，过点B作BP∥x交y轴于点P，∴△PCB∽△OCD，∵B（2，﹣1），∴P（0，﹣1）， ②过点B作BP′⊥AB交y轴于点P，∴△BCP′～△OCD， 由（1）知，y1＝﹣x+1，∴C（0，1），D（1，0），∴OC＝OD， ∴△OCD是等腰直角三角形，∴△BCP′是等腰直角三角形， ∴CP′＝PP′＝2，∴P′（0，﹣3）， ∴这样的点P有2个．即（0，﹣1）和（0，﹣3）． 2．（2020•新都区模拟）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴、x轴分别交于点B和点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD，已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4． （1）求S△OAB与反比例函数解析式； （2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标． 【解析】（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．又点A的坐标是（2，n），∴S△OAB3×2＝3． ∵S△OAB：S△ODE＝3：4．∴S△ODE＝4． ∵点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的点，∴m＝S△ODE＝4，则m＝8． ∴反比例函数解析式为y； （2）由（1）知，反比例函数解析式是y．∴2n＝8，即n＝4． 故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．解得k．∴直线AC的解析式是：yx+3． 令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴OC＝6． 由（1）知，OB＝3．设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6． ∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，∴△CBO∽△PDE，∴，即①， 又ab＝8 ②．联立①②，得（舍去）或．故D（8，1）． 【例题讲解】 例1．（顶点不确定问题）如图，在平面直角坐标系中，直线，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）将直线沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，连接．请判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在射线上是否存在一点P，使与相似，若存在，请直接写出P点坐标；不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）⊥，理由见详解；（3）（7，7）或（6，6）． 【详解】解：（1）∵点A（m，3）在直线上，∴， ∴m＝3，∴点A（3，3）， ∵点A（3，3）在反比例函数上，∴k＝3×3＝9，∴； （2）作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F． ∴∠BEO＝∠AFO＝90°，∵BC∥AO，∴∠ECB＝∠FOA，∴△BCE∽△AOF， ∴，即：∴BE=，∴B（，9）， ∴OA2＝36，OB2＝84，AB2＝48，∴OA2＋AB2＝OB2，∴∠OAB＝90°，∴OA⊥AB． （3）∵OA⊥AB，∴与相似，分两种情况： ①若△APB∽△ABO，则，由（2）知，AB＝4，OA＝6，∴，∴AP＝8， ∵OA＝6，∴OP＝14，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PG⊥x轴于G， ∵A（3，3），∴OH＝3，AH＝3， 在Rt△AOH中，∴tan∠AOH==，∴∠AOH＝30° 在Rt△APG中，∠POG＝30°，OP＝14，∴PG＝7，OG＝7，∴P（7，7）． ②若△APB∽△AOB，则△APB△AOB，∴AP=OA=6，∴OP=12， ∴在Rt△APG中，∠POG＝30°，OP＝12，∴PG＝6，OG＝6，∴P（6，6）． 综上所述：P的坐标为：（7，7）或（6，6）． 例2.（顶点确定型）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）N（，0） 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥x轴于H，∴AH∥OC，∴△BOC∽△