专题06 四边形问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题06 四边形问题 【真题精选】 1．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y（x＞0）的图象交于B（a，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标． 【解析】（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0）， ∴0＝﹣2+b，得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2， ∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y（x＞0）的图象交于B（a，4）， ∴4＝a+2，得a＝2，∴4，得k＝8，即反比例函数解析式为：y（x＞0）； （2）∵点A（﹣2，0），∴OA＝2，设点M（m﹣2，m），点N（，m）， 当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形， ||＝2，解得，m＝2或m2， ∴点M的坐标为（2，）或（，22）． 【变式训练1】如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点． （1）求的值及点的坐标； （2）在平面内有点，使以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1），；（2），和 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴； ∴反比例函数的表达式为，由题意得：点的横坐标为6，∴，故点的坐标为． （2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点D的横坐标为3，yA-yD=yB-yC即4-yD=2-0，故yD=2．所以D（3，2）． ②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0）， ∴点D的横坐标为3，yD′-yA=yB-yC即yD-4=2-0，故yD′=6．所以D′（3，6）． ③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC∥BD″． ∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴xD″-xB=xC-xA即xD″-6=6-3，故xD″=9． yD″-yB=yC-yA即yD″-2=0-4，故yD″=-2．所以D″（9，-2）． 综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，-2）． 【变式训练2】如图，一次函数图象与轴、轴分别交于点和点，与反比例函数图象交于点和点，其中点的横标为1，． （1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，，求的面积； （3）在（2）的条件下，直线向上平移，平移后的直线过点且交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）（3），， 【详解】（1）点和点分别是轴、轴的点，且,根据图像可知： 设直线的解析式为：，将点代入，得：，解得：， 点在直线上，且横标为1，，，又在反比例函数图像上 设反比例函数解析式为：，将代入，得， （2）如图，过点作轴于点,则, ，， 梯形 （3）存在，理由如下：设直线的解析式为 ，解得：， 平移后经过点，设平移后的直线的解析式为 将代入，求得，， 如图：以、、、为顶点的四边形是平行四边形 ①当为边时，时，，都在轴上，轴 ，或者 ②当为对角线时，设对角线交点为，，,设 ，，，，解得 ，综上所述，，， 【例题讲解】 例1．（菱形问题）反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，． （1）求的值并结合图象求出的取值范围； （2）在点运动过程中，若，求点的坐标； （3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由． 【答案】（1），；（2） 或；（3）能， 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴把代入，解得，∴令，解得：， 由图像可知表示一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围，∴； （2）如图，连接OP， 设，则，∵点D在上，∴， ∵，∴，∴， 设，则，∴，，在上， ∴，∴①，在上，∴②， 解①②得，，，， 点的坐标是或. （3）四边形能为菱形， ∵当时，四边形为菱形， ∴由对称性得到，即， ∴此时横纵坐标相等且在直线上，即， 解得：，即. 例2．（正方形问题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC． （1）求m的值； （2）求证：ABC为等腰三角形； （3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，