专题05 直角三角形问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题05 直角三角形问题 【真题精选】 1．（2020•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点． （1）当m＝1时，求一次函数的解析式； （2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式． 【解析】（1）当m＝1时，点A（﹣3，1）， ∵点A在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y； ∵点B（n，2）在反比例函数y图象上，∴2n＝﹣3，n， 设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，∴，∴直线AB的解析式为yx+3； （2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G， 则四边形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN， ∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m， ∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌Rt△BFG（AAS）， ∴AG＝BG，EG＝FG，∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF， ∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴mn， ∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3， ∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB， ∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴， ∴MEBN，在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2， ∴m2+（）2＝（2﹣m）2，∴m，∴k＝﹣3m， ∴反比例函数的解析式为y． 2．（2018•达州）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【解析】（1）∵OA＝3，OB＝4，∴B（4，0），C（4，3）， ∵F是BC的中点，∴F（4，）， ∵F在反比例y函数图象上，∴k＝46，∴反比例函数的解析式为y， ∵E点的坐标为3，∴E（2，3）； （2）∵F点的横坐标为4，∴F（4，），∴CF＝BC﹣BF＝3 ∵E的纵坐标为3，∴E（，3）， ∴CE＝AC﹣AE＝4，在Rt△CEF中，tan∠EFC， （3）如图，由（2）知，CF，CE，， 过点E作EH⊥OB于H，∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，∴∠EGH+∠HEG＝90°， 由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，∴∠EGH+∠BGF＝90°，∴∠HEG＝∠BGF， ∵∠EHG＝∠GBF＝90°，∴△EHG∽△GBF，∴，∴，∴BG， 在Rt△FBG中，FG2﹣BF2＝BG2，∴（）2﹣（）2，∴k， ∴反比例函数解析式为y． 【例题讲解】 例1．（直角不固定）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围； （3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标． 【解析】（1）把A（2，4）代入y2得m＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为y2， 把B（4，n）代入y2得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2）， 把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6； （2）当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2； （3）设P（t，0），∵A（2，4），B（4，2） ∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8， 当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）， 当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0）， 当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解， 展示所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）． 例2.（直角固定）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反