专题04 等腰三角形问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题04 等腰三角形问题 【真题精选】 1．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标． 【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），∴a+＝3，解得：a＝2，∴A（2，3）， 将A（2，3）代入y＝（x＞0），得：3＝，∴k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝； （2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E， 在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，解得：x＝﹣2，∴B（﹣2，0）， ∵E（2，0），∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形， ∴AB＝AD， ∵AE⊥BD，∴DE＝BE＝4，∴D（6，0）， 设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，∵A（2，3），D（6，0），∴，解得：， ∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，联立方程组：，解得：（舍去），， ∴点C的坐标为（4，）． 2．（2020•眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【解析】（1）∵反比例函数y经过点A（﹣3，2），∴m＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上，∴n＝﹣6．∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则有，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y． （2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8． （3）由题意OA，当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0）， 当OA＝OP时，可得P2（，0），P4（，0）， 当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x， 在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，解得x，∴P3（，0）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 3．（2018•遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD，且点B的坐标为（n，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 【解析】（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y图象交于A与B，且AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°， 在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD，∴，即AO＝5， 根据勾股定理得：DO3，∴A（﹣3，4）， 代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y，把B坐标代入得：n＝6，即B（6，﹣2）， 代入一次函数解析式得：，解得：，即yx+2； （2）当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）； 当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1（0，8）； 当AE4＝OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为yx，中点坐标为（﹣1.5，2）， ∴AO垂直平分线方程为y﹣2（x），令x＝0，得到y，即E4（0，）， 综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形． 【例题讲解】 例1．（腰不固定）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m） （1）求这两个函数的解析式； （2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值． 【解析】解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y（k2≠0）的图象上， ∴k2＝﹣1×（﹣4）＝4， ∴反比例函数解析式为y， 将点B（4，m）代入反比例函数y中，得m＝1，∴B（4，1）， 将点A（﹣1，﹣4），B（4，1）代入一次函数y＝k1x+b中，得， ∴，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3； （2）由（1）知，直线AB解析式为y＝x﹣3，∴C（0，﹣3）， ∵B（4，1），P（n，0）， ∴BC2＝32，CP2＝n2+9，BP2＝（n﹣4）2+1， ∵△BCP为等腰三角形，∴①当BC＝CP时，∴32＝n2+9， ∴n（舍）或n， ②当BC＝BP时，32＝（n﹣4）2+1， ∴n＝4（舍）或n＝4， ③当CP＝BP时，n2+9＝（n﹣4）2+1， ∴n＝1（舍），即：满足条件的n为或（4）． 例2．（腰固定）如图1