专题03 和最小、差最大问题（讲+练）-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘（四川专用）

专题03 和最小、差最大的问题 【真题精选】 1.（2015•成都）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象交于 A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 【解析】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝﹣1+4，解得a＝3，∴A（1，3）， 点A（1，3）代入反比例函数y，得k＝3，∴反比例函数的表达式y， 两个函数解析式联立列方程组得，解得x1＝1，x2＝3，∴点B坐标（3，1）； （2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小， ∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y＝mx+n， 把A，D两点代入得，，解得m＝﹣2，n＝5， ∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，得x，∴点P坐标（，0）， S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD2×222． 2．（2019•内江）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mx+n的解集； （3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标． 【解析】（1）∵点A（a，4），∴AC＝4，∵S△AOC＝4，即，∴OC＝2， ∵点A（a，4）在第二象限，∴a＝﹣2 A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入y得：k＝﹣8， ∴反比例函数的关系式为：y，把B（8，b）代入得：b＝﹣1，∴B（8，﹣1） 因此a＝﹣2，b＝﹣1； （2）由图象可以看出mx+n的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8； （3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P， 此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大），∵B（8，﹣1），∴B′（8，1） 设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得： ，得：k，b， ∴直线AP的关系式为yx，当y＝0时，即x0，解得x，∴P（，0） 3．（2019•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标； （3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围． 【解析】（1）把A（3，5）代入y2（m≠0），可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为y2； 把点B（a，﹣3）代入y2，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）． 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得， ∴一次函数的解析式为y1＝x+2； （2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC3． （3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3． 4．（2018•绵阳）如图，一次函数yx的图象与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标． 【解析】（1）∵反比例函数y（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M， △AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y； （2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小． 由，解得，或，∴A（1，2），B（4，），∴A′（﹣1，2）， 最小值A′B．设直线A′B的解析式为y＝mx+n，则， 解得，∴直线A′B的解析式为yx，∴x＝0时，y，∴P点坐标为（0，）． 【例题讲解】 例1.（含绝对值型差最大）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点，与y轴相交于点 C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）在x轴上找一点P，使|PA﹣PB|的值最大，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 【解析】（1）反比例函数过点A，则m＝1×3＝3，故反比例函数的表达式为：y， 将点B的坐标代入上式并解得：n＝﹣1，故点B（﹣3，﹣1）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线AB的表达式为：y＝x+2； （2）过点A作