精品解析：广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期期末数学试题

2021—2022学年第一学期期末质量检测试题 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（ ） A B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的各项系数和为（ ） A. B. 27 C. 16 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：，，，，，，，，，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数，则整数k的值为（ ） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 6. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在正方体中，为正方形的中点，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. 已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ） A. 数列为递减数列 B. 数列是等差数列 C. ，，依次成等差数列 D. 若，，则 11. 在平面直角坐标系中，点，动点，记M到y轴的距离为d．将满足的M的轨迹记为，且直线与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线l过定点 C. D. k可能是整数 12. 在中，，且，，若将沿AC边上的中线BD折起，使得平面平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（ ） A. B. 四面体ABCD的体积为 C. 存在点E使得的面积为 D. 四面体ABCD的外接球表面积为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______． 14. 已知函数，则的最大值为______． 15. 在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为______． 16. 已知存在实数，使得不等式成立，则实数t的取值范围是______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 设的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若边上高为，求． 18. 已知数列满足，，且（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值． 19. 已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？ （2）若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望． 20. 如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形． （1）证明：； （2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角大小． 21. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，． （1）求C方程； （2）证明：为定值． 22. 已知定义在上的函数． （1）求的单调递增区间； （2）对于，若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年第一学期期末质量检测试题 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数（为虚数单位），则z