解密08 正、余弦定理及解三角形（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

解密08 正、余弦定理及解三角形 内容索引 核心考点1 利用正、余弦定理解三角形 核心考点2 解三角形与其他知识的交汇问题 高考考点 三年高考探源 预测 利用正、余弦定理解三角形 2021全国甲卷文理科 8 2021全国乙卷文理科 15 2020课标全国Ⅲ11 2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅱ15 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 解三角形与其他知识的交汇问题 2020课标全国Ⅰ16 2019课标全国Ⅰ17 2019课标全国Ⅲ 17 核心考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法 利用正、余弦定理解三角形 变式一 利用正、余弦定理解三角形 1、（2021·全国·高一课时练习）在中，，，，则b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据，求出，再由正弦定理，求解即可. 【详解】在中， 由正弦定理可知 即. 故选：A. 2、（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 3、（广东省清远市2022届高三上学期期末数学试题）在平面四边形中，． (1)求；(2)求的面积． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的长； （2）首先判断出为直角三角形，从而可求出，然后利用三角形的面积公式即可求出答案. (1)因为为直角三角形，，所以． 在中，， 由余弦定理，得，所以． (2)由（1）知，，，所以， 所以为直角三角形，且， 所以，故． 4、（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”； 若想“角”往“边”化，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等． 变式二 与三角形面积有关的问题 1、（2021·云南红河·模拟预测（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】利用平方关系求得，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：因为，所以， 所以.故选：C. 2、（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 变式三 三角形形状的判断 1、（2021·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三