解密07 三角函数恒等变换（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

解密07 三角恒等变换 考点热度 ★★★★☆ 内容索引 核心考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 核心考点2 三角恒等变换的综合应用 高考考点 三年高考探源 预测 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 2021全国甲卷理9 2021全国甲卷文11 2021全国乙卷文4、6 2020课标全国Ⅱ13 2020课标全国Ⅲ6 2019课标全国Ⅰ7 2019课标全国Ⅱ11 2019课标全国Ⅲ5,18 本节在近三年均有考查，重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变形研究函数的性质等，既有选择题又有填空题，难度中等．掌握三角函数的和差公式、二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键． 三角恒等变换的综合应用 2021全国甲卷理16 2021全国甲卷文15 2019课标全国Ⅱ15 核心考点一 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 考法 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 变式一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 1、（2021·云南·模拟预测（文））已知且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合余弦和角公式求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，，， ， 故选：D． 2、（2021·全国·高一课时练习）已知都是锐角，，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，再利用差的正弦公式即可求出. 【详解】由于，所以， 所以， 所以 . 故选：C. 3、（2021·全国·模拟预测）已知，为第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式计算的值即可求解. 【详解】因为为第二象限角，所以， 又因为，所以， 所以， 所以 ， 故选：A. 4、（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. ☆技巧点拨☆ 三角恒等变换的“四大策略”： （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； （2）项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 变式二 利用两角和与差的正切公式化简求值 1、（2021·湖北·高三阶段练习）已知，，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件化简求出，利用，并结合，求出结果即可. 【详解】解：， 解得. 因为，，所以， 因为， 所以，， 所以. 故选：B. 2、（2021·福建·厦门市湖滨中学高一阶段练习）已知且，则=（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解. 【详解】因，则， ， 因，，则，又，有， 于是得，因此，， 所以. 故选：C 3、（2021·全国·高一课时练习）若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于（ ） A． B．2 C．1＋ D．2(tan A＋tan B) 【答案】B 【分析】由已知，应用和角正切公式可得tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，利用因式分解求目标式的值. 【详解】由题设得：tan(α＋β)＝＝－1， ∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，即2＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(1－tan α)(1－tan β)． 故选：B ☆技巧点拨☆ 公式的常见变形： （1）；． （2）降幂公式：；；． （3）升幂公式：；；；． （4）辅助角公式：，其中， ． 核心考点二 三角恒等变换的综合应用 考法 三角恒等变换的综合应用 变式一 与三角函数的图象及性质相结合 1、（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数，则下列结论错误的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点成中心对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调递减区间是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利