第12讲 不等式大小关系及不等式的解法-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第12讲 不等式大小关系及不等式的解法 【知识点总结】 一、 基本概念 不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）. 二、基本性质 不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误. 1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件） （1）（传递性，注意找中间量） （2）（同向可加性） （3）（同正可乘性，注意条件为正） 2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据 （1）. （2）（对称性） （3）（乘正保号性） （4） （5）（不等量加等量） （6）（乘方保号性，注意条件为正） （7）（开方保号性，注意条件为正） （8）（同号可倒性）；. 三、一元一次不等式（） （1）若，解集为. （2） 若，解集为 （3）若，当时，解集为；当时，解集为 四、一元一次不等式组（） （1），解集为. （2），解集为 （3），解集为 （4），解集为 五、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 六、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式 （1）将最高次项系数化为正数 （2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）. （4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集. 七、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 八、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【典型例题】 例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则 例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____． 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______ 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ） A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ） ①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（ ） A．(1，3) B． C． D． 6．（2022·全国·高三专题练习）设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab