专题31 二次函数与四边形面积问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题31 二次函数与四边形面积问题 1．（2021—2022陕西碑林九年级期中）已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB； （3）在该抛物线上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）9；（3）存在，（1+，）或（1﹣，） 【解析】 【分析】 （1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a中进行求解即可； （2）先求出D点的坐标，然后过D作DE⊥x轴于E，再由S四边形ACDB＝S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB进行求解即可得到答案； （3）设P（x，﹣x2+2x+3），由A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，再由S△ABP＝S四边形ACDB，得到，解方程即可． 【详解】 解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a中得： ， ∴， ∴此二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，B、D分别为抛物线与x轴的交点和顶点， ∴顶点D（1，4），由对称性质得：B（3，0）， 过D作DE⊥x轴于E， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AO=1，OC=3，OE=1，DE=4，OB=3， ∴BE=2 ∴S四边形ACDB＝S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB； （3）存在， 设P（x，﹣x2+2x+3）， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵S△ABP＝S四边形ACDB， ∴， ① ， ∴， ∴， 解得， ② ， ∴， ∴， 此方程无实数解， 当时，， 当时，， ∴符合条件的点P的坐标为：（1+，）或（1﹣，）． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，四边形面积，解一元二次方程，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 2．（2021—2022福建厦门九年级期中）如图抛物线经过点，点，点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，若直线CP分四边形CBPA的面积为的两部分，求点P的坐标． （3）点D、E是直线上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值及此时点D的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）最小值为：＋1＋， 【分析】 （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数一般式对称轴为解答即可； （2）设直线与轴交于点，然后根据，求解即可； （3）CD＋AE＝A′D＋DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD＋AE＝A′D＋DC′最小，周长也最小，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 则对称轴为：； （2）如图：设直线与轴交于点， 直线直线CP分四边形CBPA的面积为的两部分， 又∵， 则或， 令， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 即点的坐标为或， 当点的坐标为时， 直线与轴重合，与抛物线只有一个交点，不符合题意； ∵直线经过，点， ∴设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立一次函数与二次函数解析式得：， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为：； （3）四边形ACDE的周长＝AC＋DE＋CD＋AE， 其中AC＝，DE＝1是常数， 故CD＋AE最小时，周长最小， 取点C关于直线x＝1对称点C′（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（−1，1），则A′D＝AE， 故：CD＋AE＝A′D＋DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD＋AE＝A′D＋DC′最小，周长也最小，， 四边形ACDE的周长的最小值＝AC＋DE＋CD＋AE＝＋1＋A′D＋DC′＝＋1＋A′C′＝＋1＋， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点的坐标为：． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到一次函数，图像面积，点的对称，勾股定理等，其中确定出点来求最小值，是本题的难点． 3．（2022·辽宁沈北新区·九年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由； （4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）；