专题08 一元二次方程【知识点清单+思维导图+热点题型】-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）

专题08 一元二次方程 【知识要点】 知识点一 一元二次方程有关概念 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 知识点二：解一元二次方程（重点） 方法一：直接开平方法 概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】1) 若b0，方程有两个不相等的实数根； 2）若b0，方程有两个相等的实数根； 3)若b<0，方程无解。 方法二 配方法 概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式； 【注意】：1）当q <0时，方程无解 2）如q≥0时，方程的根是x=-p± 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 方法三：公式法 概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。 一元二次方程 根的判别式： 1） 方程有两个不相等的实根:（） 2）方程有两个相等的实根： 3）方程无实根 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： 4）最后求出x1，x2 方法四：因式分解法 概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。） 用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）： 1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解。 知识点三 一元二次方程根与系数关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系： +＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 1）； 2）； 3）； 4）； 知识点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题 销售类问题思路： 1）增长率等量关系： ①增长率＝×100%； ②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b； 【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。 2）利润等量关系： ①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格； ②标价：商家出售时标注的价格； ③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。 ④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。 ⑤利润率=。 几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等； 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $专题08 一元二次方程 考查题型一 一元二次方程的解 【解题思路】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 1．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ） A．0 B．1 C．−3 D．−1 【答案】B 【提示】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值． 【详解】解：根据题意得，解得；故选：B． 【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的