7.1.2弧度制及其与角度值的换算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.2 弧度制及其角度值的换算 知识梳理 一． 弧度制 我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度等于的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.如下图，因为的长度等于半径，所以所对的圆心角就是1弧度的角. 注：今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数.例如，表示是2的角，表示的角的正弦. 二．弧度制与角度制的换算 1.角度与弧度的关系： 2.设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 三．特殊角的弧度数 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 四．弧长与扇形面积公式 1.弧长公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则，所以即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积. 2.扇形面积公式：若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是 常见考点 考点一 角度化弧度 例1．用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用角度与弧度间的互化公式求解即可 【详解】 弧度， 故选：C 变式1-1．角200°用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由即可求解. 【详解】 解：因为，所以200°. 故选：C. 变式1-2．可以化为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据角度和弧度的互化可直接得到结果. 【详解】 ，可以化为. 故选：C. 变式1-3．将化为弧度制的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据角度和弧度的换算公式即可得到答案. 【详解】 ． 故选：B. 考点二 弧度化角度 典例2．对应的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用弧度与角度的换算关系可得结果. 【详解】 . 故选：C. 变式2-1．角θ=，则依照弧度定义，圆周角360°=2π，则（ ） A．θ=-150° B．θ=-210° C．150° D．210° 【答案】B 【分析】 根据题意用180°=π，即可求出结果. 【详解】 因为360°=2π，故180°=π，所以， 故选：B. 变式2-2．弧度化成角度制的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用即可求解. 【详解】 ， 故选：B. 变式2-3．化成角度是（ ） A．20° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【分析】 直接利用弧度值化角度制的公式求解. 【详解】 由题得. 故选：B 考点三 弧长有关的计算 典例3．扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 根据扇形弧长与半径、圆心角的关系求圆心角的弧度即可. 【详解】 设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是， ∴扇形的圆心角的弧度数. 故选：D. 变式3-1．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A．cm B．cm C．cm D． cm 【答案】A 【分析】 利用弧长公式计算出正确答案. 【详解】 根据弧长公式，得 (cm)． 故选：A 变式3-2．半径为3 cm的圆中，有一条弧，长度为 cm，则此弧所对的圆心角为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用弧长公式计算即可． 【详解】 ， 故选：A． 变式3-3．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】 由扇形周长等于弧长加上两条半径的长度，根据已知条件即可求扇形的周长. 【详解】 由扇形周长公式：，而， ∴这个扇形的周长是. 故选：B 考点四 扇形面积有关的计算 典例4．如图，圆心角弧度数为的扇形的半径，此扇形的面积为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】 根据扇形面积公式计算即可. 【详解】 因为圆心角弧度数为 1rad，扇形OAB 的半径 ， 所以扇形OAB的面积为：. 故选：A 变式4-1．已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出扇形半径，然后由扇形面积公式计算． 【详解】 设扇形半径为，则，， 所以扇形的面积． 故