10.3 几个三角恒等式（同步进阶训练）-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.3 几个三角恒等式 一、单项选择题 1．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，不妨设为锐角，则. 则， 所以， 由，可得，取， 可得在内的对称轴方程为， 因为是在内的两根， 所以， 所以 故选：A 2．矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示， 建立直角坐标系． 设∠OAB=θ，则∠CBE=θ. ． B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）． ∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2 =1+4sinθcosθ+4sin2θ =1+2sin2θ+2（1﹣cos2θ） =+3， ∵ ， ∴ ． ∴当2 ， 即时，|OC|2取得最大值，2+3． 故选：D． 3．设，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 则 ， 注意到，所以. 故选：A. 4．已知函数（，）的两个相邻零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】， 由函数的两个相邻零点之间的距离为得：， 所以，可得， 所以该函数的表达式为， 由，，可得，， 所以函数的单调区间为，， 故选：A. 5．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，且，使得，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 其中，，可得， 则， 令，可得 当时，图象的对称轴方程为， 所以，可得， 故选：C. 6．已知，满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因此可得：， 所以所以， 所以 因为， 所以，，所以，故选：B. 7．若角α满足，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 两边平方，可得， 所以．故选：C. 8．函数的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，其对称轴满足，即.故选：A。 9．设函数图象的一条对称轴方程为，若时，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 所以. 令，可得， 因为，所以，， 所以， 若时，，得到. 故选：. 10．下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由选项A得，所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误；对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误；对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误；对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确.故选：D 11．已知函数（）.下列说法正确的是（ ） A．函数在区间上是增加的 B．函数在区间上是减小的 C．（，）的值域为 D．（）的值域为 【答案】C 【解析】解：对于A选项，在区间上是单调递减函数，故A选项错误；对于B选项，在区间上是单调递增的，故B选项错误；对于C选项，（，），值域为，故C选项正确；对于D选项，（）的值域为，故D选项错误；故选：C。 12．已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意 , ， ，， ，的最小值为，故选：B． 二、填空题 13．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 因为 所以， 即 故答案为： 14．函数化成（，）_____ 【答案】 【解析】解： . 故答案为：。 15．函数 （）的最大值为_______． 【答案】 【解析】令，其中，， 则当时，有最大值，，当时，有最小值，， 则的值域， 令，设，∵，∴， 则可化为，， 则当或即、、时，有最小值，， 当即时，有最大值，， 则的值域为， 则当时，，但， 当时，，，，，∴， 当时，，，，，∴， 综上可知，()的最大值为． 故答案为： 16．已知 ，，且，为锐角，则______. 【答案】 【解析】因为，且为锐角，所以， 因为，为锐角，所以， 那么， ， 所以， 因为，，所以．而， 所以， 所以，故，故答案为：。 17．已知函数，下列结论中正确的有_______ （1）的图象关于中心对称 （2）在上单调递减 （3）的图象关于对称 （4）的最大值为3 【答案】（1）（3）（4） 【解析】由题设，， （1），故的图象关于中心对称，正确； （2）上有，由正弦函数的性质知：在上不单调，错误； （3），故的图象关于对称，正确； （4）由正弦函数