10.3 几个三角恒等式（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.3 几个三角恒等式 课标要求 学习目标 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。 1.了解和理解积化和差与和差化积公式，能进行简单的恒等变换； 2.理解半角公式、万能公式的推导，能进行简单的恒等变换； 知识精讲 一、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 sin·cos=[sin(+)+sin(-)] cos·sin=[sin(+)-sin(-)] cos·cos=[cos(+)+cos(-)] sin·sin= -[cos(+)-cos(-)] 2.和差化积公式 sin+sin= sin-sin= cos+cos= cos-cos= - tan+ cot= tan- cot= -2cot2 1+cos= 1-cos= 1±sin=()2 【练一练】把下列各式化为积的形式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）. （2） 。 二、半角公式 【练一练】已知，求，，的值． 【答案】；； 【解析】解 ， ， 。 三、万能公式 四、辅助角公式 ， 其中θ满足 当时，。 【练一练】化简： （1）； （2）. 【答案】（1）0 （2） 【分析】（1）原式 。 （2）原式 。 重点探究 一、辅助角公式及应用 通过应用公式asinθ+bf(θ+)(或asinθ+，将形如asinθ+bcsθ(a，b不同时为零）的三角函数式收缩为一个三角函数或 ，这是研究三角函数性质的常用工具。 【例1】已知函数，. （1）若是第三象限角，且，求的值； （2）设，讨论在区间上的单调性. 【答案】（1） （2）在上递增，在递减 【分析】（1）解： 因为，所以 因为是第三象限角，所以， . （2）解：由（1）得， 因为，所以 要使为增函数，则，解得 要使为减函数，则，解得 综上所述，当时，在上单调递增，在单调递减。 二、三角恒等式的证明 恒等式的证明包括有条件的恒等式证明和无条件的恒等式证明两种.无条件的恒等式证明，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等；有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证。 【例2】证明下列恒等式： （1）； （2）． 【分析】（1）本题可通过两角和的正弦公式以及两角差的正弦公式得出结果； （2）本题可通过两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式以及同角三角函数关系得出结果. 【答案】（1） ， 故成立. （2） ， 故成立。 课堂练习 一、单选题 1．已知函数，则f(x)（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【解析】 故f(x)是奇函数，故选：A。 2．函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【解析】， 的最小正周期为，最大值为，故选：C。 3．函数的最小正周期为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】，最小正周期为.故选：A。 4．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，平方可得，所以．所以．故选：A。 5．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即，所以．故选：D。 6．函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为，故选：C。 7．已知函数()的最小正周期为，则实数（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ∴的最小正周期， 解得：，故选：C。 8．当时，函数的最大值，最小值分别为（ ） A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1 【答案】D 【解析】，又， ∴，即，故选：D。 9．若则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B。 10．若，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，又，∴原式，故选：D。 11．已知和为函数（其中）的两条相邻的对称轴，则的值是（ ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】由，由和为两条相邻的对称轴，所以周期，所以，解得，故选：D。 12．可化为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选A。 二、填空题 13．已知sin＝，则________． 【答案】 【解析】， ，故答案为：。 14．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________． 【答案】-1 【解析】cos＋cos＝cos＋cos＋sin＝cos＋sin＝＝cos＝×＝－1，故答案为：－1。 15．已知