10.2 二倍角的三角函数（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.2 二倍角的三角函数 课标要求 学习目标 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 1.掌握倍角公式并会运用倍角公式进行计算和化简。 2.掌握倍角公式的逆向变换及有关变形； 知识精讲 一、倍角公式 ⑴； ⑵； ⑶； 【练一练】1.化简： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【解析】（1）； （2）。 2.求值：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）； （2）. 二、倍角公式的逆向变换及有关变形 1.配方变形：； 2.升幂公式：； 3.降幂公式：，； 重点探究 一、三角函数式的化简问题 1.化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等. 2.化简要遵循“三看”原则 ①看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式. ②看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”. ③看“结构特征”，分析结构特征，有助于找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。 【例1】证明： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）证明：左边==右边 （2）证明：由正切的二倍角公式： 左边==右边 （3）证明：左边= =右边 （4）证明：左边==右边 （5）证明： =右边 （6）证明： =右边 【分析】（1）将左边的完全平方打开，利用同角三角函数关系和正弦的二倍角公式，即得证； （2）将左边的代数式通分，结合正切的二倍角公式，即得证； （3）将左边用正切的和角公式打开，结合正切的二倍角公式，即得证； （4）将左边替换代入，再结合正弦的二倍角公式，即得证； （5）利用正弦、余弦的二倍角公式将左边展开，化简可得，上下同除以，结合，以及正切的和角公式，即得证； （6）先将左边的正切用正弦、余弦表示，通分化简，再结合正弦、余弦的二倍角公式，即得证。 二、三角函数的给值求值问题 三角函数的给值求值问题的两种形式： 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，则应考虑将“所求角”用“已知角＂和“常用角”。 【例2】已知，求，，的值． 【答案】. 【解析】解：； ； 。 三、三角函数的给值求角问题 1.在给值求角时，一般地，选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角.确定角的范围是关键的一步，一定要使所选的函数在此范围内是单调的.选函数时可按照下列原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦三角函数值，选正弦或余弦函数； ③若角的范围是 可以选正弦函数，也可以选余弦函数； ④若角的范围是 选正弦函数比选余弦函数好； ⑤若角的范围是(0，π)，选余弦函数比选正弦函数好 2.三角函数给值求角问题的一般步骤； ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围结合三角函数值写出所求的角。 【例3】已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值. 【解析】（Ⅰ）因为 ， 所以函数的最小正周期为. （Ⅱ）因为，所以． 所以 当，即时，取得最大值． 当，即时，取得最小值。 课堂练习 一、单选题 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 .故选：B. 2．sin15°sin105°的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以sin15°sin105°=sin15°cos15°=sin30°=.故选：A． 3．已知，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，又，解得.故选：A. 4．下列各式的值等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D不正确；故选：C 5．已知，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴.故选：D． 6．的化简结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B. 7．在△ABC中，若cosA=，则sin2+cos2A=（ ） A．- B． C．- D． 【答案】A 【解析】sin2+cos2A =+2cos2A-1 =+2cos2A-1 =.故选：A. 8．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 所以的最小正周期为.故选：A. 9．已知角的终边过点，则的值为（ ） A． B． C． D