9.4 向量应用（同步进阶训练）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.4 向量应用 一、单项选择题 1．非零向量，满足，且，则△ABC为（ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】，，分别为单位向量， 的角平分线与垂直， ， ， ， ， △ABC为等边三角形． 故选：D． 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得， 又 . 根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，当点P位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时， 所以，.故选：B. 3．在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 因为直角梯形中，，，，，， 所以，则 ，，，，， 所以，， 设，则， 因为，所以，解得， 所以，则，， 因为，所以，得，则， 设，则， ， 所以， 当时，取得最大值， 故选：D 4．在四边形中，，且，那么四边形为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【解析】解：，，四边形为平行四边形， 又，平行四边形为菱形.故选：B. 5．P是△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】由，可得，即， 等式两边平方，化简得，， 因此，△ABC是直角三角形.故选：B. 6．设平面向量、、，满足，与的夹角为，，则关于的叙述正确的是（　　） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】如图所示，设，，， 因为，， 可得点在以的中点为圆心，为直径的圆上， 作直线交圆于点、，如下图所示： 当点与点重合时，取得最小值，即， 当点与点重合时，取得最大值，即. 故选：D. 7．如图所示，在△ABC中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】解：因为在△ABC中，为中点，，， 所以， 设， 所以，即 所以.故选：C 8．如图为一个空间探测器的示意图，、、、是四台喷气发动机，、的连线与空间一个固定坐标系的轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率向正方向平动，要使探测器改为正偏负的方向以原来的速率平动，则可（ ） A．先开动适当时间，再开动适当时间 B．先开动适当时间，再开动适当时间 C．开动适当时间 D．先开动适当时间，再开动适当时间 【答案】A 【解析】先开动适当时间，探测器受到的推力沿负方向，探测器沿正方向做减速运动，再开动适当时间，又产生沿负方向的推力，探测器的合速度可以沿正偏负的方向，并以原来的速率平动，故A正确；先开动适当时间，探测器受到的推力沿正方向，将沿正方向加速运动，再开动适当时间，又产生沿正方向的推力，探测器的合速度在第一象限，故B错误；先开动适当时间，探测器受到沿负方向的推力，将获得沿负方向的速度，沿轴方向的速率不变，故C错误；先开动适当时间，探测器受到的推力沿正方向，将沿着正方向加速运动，速率大于.再开动适当时间，探测器又受到沿负方向的推力，将获得沿负方向的速度，合速度的大小大于，故D错误.故选：A. 9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H．若与共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设． ∵，， ∴， ∴． 取边的中点D，连接，则， ∴，． 又∵． ∴． ∴， ∴， 又∵不恒为0． ∴必有，解得． ∴．故选：C. 10．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为分钟 【答案】B 【解析】由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向， 由，可得，，A选项错误，B选项正确，C选项错误； 该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.故选：B. 二、填空