9.4 向量应用（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.4 向量应用 课标要求 学习目标 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 1.能够运用向量的方法证明线段相等、平行、线段平行、三角形相似等； 2.能够运用向量的方法解决物理问题。 知识精讲 一、平面几何中的向量方法 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义 (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件//()(或). (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：⊥ ·=0(或=0)。 (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ=。 (5)对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题. 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 【练一练】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：． 【答案】证明见详解. 【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系： 设正方形的边长为2，则 ， ，即 二、向量在物理中的应用 1.向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. 2.向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标运算. 3.向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积， ·s=||||cosθ(θ为和的夹角).动量m实际上是数乘向量。 【练一练】如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F． （1）如果，求F的大小； （2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势． 【答案】（1） N. （2）在逐渐变小. 【分析】（1）由题设， N. （2）由（1）知：，当上增大时，随之递减， ∴在逐渐变小. 重点探究 用平面向量解决平面几何问题的方法 利用向量的数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是用向量表示几何关系；二是进行向量运算；三是还原为几何结论。 【例1】已知，，，点D是BC上一点，且的面积是△ABC面积的． （1）求△ABC的重心G的坐标； （2）求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）因为是△ABC的重心， 所以，，所以． （2）由题意，所以， ，所以点坐标为． 【例2】如图，在△OAB中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 课堂练习 一、单选题 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）． A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【解析】是正△ABC的中心， 向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的， 是正三角形的中心， 到三个顶点的距离相等， 即， 故选：B. 2．物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ） A．3N B． C．2N D． 【答案】C 【解析】 由题得, 所以,所以, 所以, 所以和大小相等，都为2. 故选：C 3．在△ABC中，若，则的形状一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】因为， 所以为钝角， 所以△ABC一定是钝角三角形. 故选；D 4．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当航线垂直于河岸时，航程最短， 如图，在△ABC中