第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【知识点总结】 一、证明不等式常用的方法和思路 作差构造函数，转化为最值问题 二、不等式恒成立问题常用的方法和思路 (1)直接法 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 三、零点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为． （1）求的值； （2）证明：． 【详解】 解：（1）因为，所以， ，解得． （2）由（1）可得 即证． 令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）． 又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）． 所以，即． 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 【详解】 （1）由得 知当时在上单调递减 当时， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减. （2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增， ，即有， ， 以上各式相加得， 例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数. （1）求函数的极值； （2）若对任意的都有成立，求c的取值范围. 【详解】 （1）因为，所以，. 令，解得或， 当，即或；当，即，. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为，. 所以，时，有极大值，. 当时，有极小值. （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，. 又，，. 所以时，，. 因为对任意的都有成立，所以. 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围. 【详解】 解：（1）当时，， ∴，， ∴切线方程为， 即 （2）∵， ∴原条件等价于：在上，恒成立. 化为 令， 则 令，则 在上，， ∴在上， 故在上，；在上， ∴的最小值为，∴ 例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数（） （1）求在处的切线方程； （2）当有3个零点时，求的取值范围． 【详解】 （1），切点为. ，， 所以切线方程为：. （2）， 令，解得，. ，，为增函数， ，，为减函数， ，，为增函数， 所以的极大值为，极小值为. 因为有个零点时，所以，解得. 例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数. （1）若，求曲线在处切线的方程； （2）求的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【详解】 （1）由已知， ， 曲线在处切线方程为，即. （2）. ①当时，由于，故， 所以，的单调递增区间为，无单调递减区间. ②当时，由，得. 在区间上，，在区间上， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知，转化为， 由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意. (或者举出反例：存在，故不符合题意.) 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以， 解得. 例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 【详解】 （1）,依题意有 ,且,可得,解得,或. （2）.不妨设, 等价于.设,则对任意的,且, 都有,等价于在上是增函数. ,可得,依题意有, 对任意, 有恒成立. 由,可得. 【技能提升训练】 1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数在处的极值为2，其中． （1）求，的值； （2）对任意的，证明恒有． 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解. （2）由于，要证不等式成立，转化为求解在时的最值，结合导数分析函数性质即可求解. 【详解】 （1）， 由题意可得， 解得. （2）， 令，， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减且， 所以时，， 所以，即证. 2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行． （1）求的值； （2）求证：在上恒成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （2）转化为证，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证． 【详解】 解：（1）因为， 所以，， 由题意得， 所以，解得； 证明（2）， 令，， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故当时，取