湖南省株洲市2022届高三年级教学质量统一检测(一)数学试题

株洲市2022届高三年级教学质量统一检测(一) 数学 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分． 满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 第 I 卷 一． 选择题（本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的．) 1. 已知集合 ， 则 A． B． C． D． 2. 已知 ， 其中 是虚数单位， 若复数 ， 则复数 为 A． B． C． D． 3. 某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件， 产品的尺寸分别记为 ， 已知 均服从正态分布， ， 其正态分布密度曲线如图 所示， 则下列结论中正确的是 A． 甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B． 甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C． 甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D． 甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 4. “ " 是 “ " 的必要不充分条件， 则 的取值范围为 A． B． C． D． 5. 已知 ， 则 A． 2 B． C． 3 D． 6. 的展开式中的常数项为 A． 10 B． C． D． 7. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作， 其记载的 “日月历法” 曰： “阴阳之数， 日月 之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千百五二十岁， 生 数皆终， 万物复苏， 天以更元作纪历”． 某老年公寓住有 19 位老人与 1 位义工， 老人与义 工的年龄 (都为正整数) 之和恰好为一遂， 其中义工年龄不满 24 岁， 老人的年龄依次相 差 1 岁， 则义工的年龄为 A． 18 岁 B． 19 岁 C． 20岁 D． 21 岁 8. 已知 为坐标原点， 双曲线 的右焦点为 ， 直线 与双曲线 的渐近线交于 两点， 其中 为线段 的中点． 若 四点共圆， 则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 2 二． 选择题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分．) 9. 甲罐中有 5 个红球， 5 个白球， 乙罐中有 3 个红球， 7 个白球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 再从乙罐中随机取出一球． 表示事件 “从甲罐取出的球是红球”， 表示 事件 “从甲罐取出的球是白球”， 表示事件 “从乙罐取出的球是红球”． 则下列结论正 确的是 A． 为对立事件 B． C． D． 10. 设 是给定的平面， 是不在 内的任意不同的两点， 则 A． 在 内存在直线与直线 平行 B． 在 内存在直线与直线 垂直 C． 存在过直线 的平面与 平行 D． 存在过直线 的平面与 垂直 11. 若 是函数 图象的一条对称轴， 则下列说法正确的是 A． B． 是函数 图象的一条对称轴 C． 点 是函数 图象的一个对称中心 D． 函数 在 上单调递减 12. 设函数 的定义域为 ， 如果存在常数 ， 对于任意 ， 都有 ， 则称函数 是 “类周期函数”， 为函数 的 “类 周期”． 现有下面四个命题， 正确的是 A． 函数 是 “类周期函数” B． 函数 是 “类周期函数” C． 如果函数 是 “类周期函数”， 那么 “ ” D． 如果 “类周期函数” 的 “类周期” 为 ， 那么它是周期为 2 的周期函数 第 II 卷 三． 填空题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分) 13. 如图所示， 一个物体被两根轻质细绳拉住， 且处于平衡状态． 已知两条绳上的拉力分别是 ， 且 与水平夹角均为 ， 则物体的重力大小为________N． 14. 已知 为椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， 若 为直角三角形， 则 的面积为________． 15. 若函数 恰有两个零点， 则 的值为________． 16. 已知三棱锥 的各棱长均为 1 ， 且其四个顶点都在球 的球面上． 若过球心 的一个截面如图所示， 则该截面中三角形 (阴影部分) 的面积为________． 四． 解答题 (本题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ) 17. (本小题满分 10 分) 已知数列 为等比数列， 其前 项和为 ， 且 ． (I) 求数列 的公比 和 的值； (II) 求证： 成等差数列． 18. (本小题满分 12 分) 如图所示， 在四