第01讲 实数的概念及数的开方（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第01讲 实数的概念及数的开方（核心考点讲与练） 一、实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． 如、、等这样的数叫做正无理数； 、、这样的数叫做负无理数； 只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数． 3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类 （2）按性质符号分类 二、数的开方 开平方： 1、 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方． 2、 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数． 如，，的平方根是． 说明： 1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2) 平方和开平方互为逆运算． 3、 算术平方根： 正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”． ★注意： 1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0； 2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写； 3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 开立方： 1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方． 2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意： 1） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2） 零的立方根是0； 3） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 开次方： 1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数． 2、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根． 3、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根． ★注意： 1） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数； 2） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）； 3） 负数的偶次方根不存在； 4） 零的次方根等于零，表示为． 三、数的方根的非负性 数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围； 应用：与整式、分式的综合应用． 考点一：实数的概念 【例题1】．（2019·上海市香山中学七年级期中）下列说法中，正确的是( ) A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类 【答案】C 【分析】根据实数的概念即可判断 【详解】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误； （B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误； （D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选C． 【点睛】本题考查实数的概念，解题关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型． 【变式训练1】．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 _____________________。 【答案】2个 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数． 【详解】解：=1，=1，=2， 所以无理数有：、0.1010010001…，共2个．故答案为：2个． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 考点二：数的开方 【例题2】（2019·上海市光明中学七年级期中）下列等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义分别计算可得出正确选项. 【详解】A选项，正确；B选项，负数没有平方根，故错误；C选项，，故C错误；D选项，，故D错误.所以选A. 【点睛】本题考查了算术平方根的计算，属于基础题，掌握基本概念是关键. 【变式训练1】（2019·上海浦东新区·七年级月考）下列结论正确的是（ ） A．； B．没有平方根 C．的平方根是 D．的平方是. 【答案】D 【分析】根据平方根，算术平方根的定义以及有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故本选项错误；、时，有平方根，故本选项错误； 、，的平方根是，故本选项错误； 、9的平方是81正确，故本选项正确．故选：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根的定义，有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【变式训练2】（2019·