专题09 不等式的导数证明-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题9 不等式的证明 考点解读 不等式在数学中具有重要的地位，熟练掌握不等式的证明尤为重要.不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循，所以证明不等式的方法可以因题而异，证明的方法也就有很多种，要熟练掌握并应用到具体的题目中去. 证明不等式的常用方法: （1）用比较法证明不等式 ①作差比较法 a.作差比较法的一般步骤:作差、变形、判断符号、得出结论.其中，变形整理是关键，变形的目的是为了判断差的符号，常用的变形方法:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. b.若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法. ②作商比较法 a.作商比较法的一般步骤:作商、变形、判断与1的大小关系，得出结论. b.利用作商比较法时，要注意分母的符号. 当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法. （2）用综合法或分析法证明不等式 ①综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. ②分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. （3）用反证法证明不等式 ①适宜用反证法证明的数学命题 【例题1】已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]. （1）求m的值; （2）若a，b，c∈R*，且++=m，求证:a+2b+3c≥9. 【解析】（1）因为f（x+2）=m-|x|，所以f（x+2）≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f（x+2）≥0的解集为[-1，1]，故m=1. （2）由（1）知++=1，又a，b，c∈R*，由柯西不等式得a+2b+3c=（a+2b+3c）≥·+·+·2=9. 【例题2】已知函数f（x）=|x-1|. （1）解不等式f（x）+f（2x+5）≥x+9; （2）若a>0，b>0，且+=2，证明:f（x+a）+f（x-b）≥，并求当f（x+a）+f（x-b）=时a，b的值. 【解析】（1）f（x）+f（2x+5）=|x-1|+|2x+4|≥x+9. 当x≤-2时，不等式为4x≤-12⇒x≤-3，所以x∈（-∞，-3]; 当-2<x<1时，不等式为5≥9，无解; 当x≥1时，不等式为2x≥6⇒x≥3，所以x∈[3，+∞）. 综上所述，不等式的解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）. （2）方法一:f（x+a）+f（x-b）=|x+a-1|+|x-b-1|≥|x+a-1-（x-b-1）|=|a+b|. 因为a>0，b>0，+=2，所以|a+b|=a+b=（a+b）·=++≥+2=. 当且仅当=，即b=2a时，“=”成立. 由可得 方法二:f（x+a）+f（x-b）=|x+a-1|+|x-b-1|， 因为a>0，b>0，所以1-a<1+b. 当x≤1-a时，f（x+a）+f（x-b）=-x-a+1-x+b+1=-2x+2-a+b≥a+b; 当1-a<x<1+b时，f（x+a）+f（x-b）=x+a-1-x+b+1=a+b; 当x≥1+b时，f（x+a）+f（x-b）=x+a-1+x-b-1=2x-2+a-b≥a+b， 所以f（x+a）+f（x-b）的最小值为a+b. 因为a>0，b>0，+=2， 所以a+b=（a+b）=++≥+2=，当且仅当=，即b=2a时，“=”成立. 由可得 规律总结 （1）含绝对值的不等式的证明主要分三类:一类是比较简单的不等式，可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式的证明;另一类是利用绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，通过适当的添项、拆项证明，但一定注意放缩要适当;再一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. （2）作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构. （3）放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小.如欲证A≥B，需通过B≤B1，B1≤B2，…，Bn≤A（或A≥A1，A1≥A2，…，An≥B），再利用传递性达到证明的目的.应用放缩法证明不等式时，放缩要适当，既不能缩得过小，也不能放过了头