专题05 函数的应用题-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题5函数的应用题 考点解读 1.一次函数模型应用题的求解方法 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0），可构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解. 2.二次函数模型应用题的求解方法 （1）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，可构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决. （2）二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，需要强调的是:一定要注意自变量的取值范围，根据图像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. 3.分段函数模型应用题的求解方法 （1）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数，如出租车的票价与路程之间的关系就是分段函数. （2）分段函数中每一段自变量变化所遵循的规律不同，在应用时，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值. （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏. 4.指数函数模型应用题的求解方法 （1）与增长率有关的问题，与银行的利率有关的问题，都属于指数函数模型. （2）可根据图像利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解. 5.y=x+（a>0）模型应用题的求解方法 （1）函数y=x+（a>0）也称为“对勾”函数.解决“对勾”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等号成立的条件，如若等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题. （2）求函数解析式时要注意确定函数的定义域，对于y=x+（a>0）类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或者考虑使用函数的单调性，此时可借助导数的方法来研究其单调性. 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（ ） A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9） 【答案】D 【解析】解：模式A：，模式B：，其中p为初始电量. A模式用了m小时，电量为， m小时后B模式用了小时， ∴ ，令，∴， ∴， 因为，， ∴，∴ 故选：D 2．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%—45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系为（k为正常数，为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A．6小时 B．3小时 C．1.5小时 D．小时 【答案】B 【解析】由题意可知，，则，又，则，所以至少还需要过滤6-3=3小时， 故选：B. 3．经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ） A． B． C．2m D．4m 【答案】D 【解析】根据题意，由，，，得 当，时，， 即， 因此，故. 故选：D. 4．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，，则下列结论正确的是（ ） A．当时，乙在最前面 B．当时，丙在最前面 C．当时，丁在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲 【答案】D 【解析】在同一直角坐标系中作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，当时，，即乙在最后面，C错； 对于D选项，随着的增大，越到后面，四个函数中，函数的增长速度越快， 如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，D对. 故选：D. 5．在2019年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：