专题04 函数与不等式-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题4 函数与不等式 考点解读 函数、不等式往往在高考中同时出现，下列是一些常见的有关不等式的考法： 题型1 以集合为背景的不等式 以集合为背景的不等式，以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合，准确解题. 【例题1】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （I）若，求； （II）若，求正数的取值范围． 解：（I）由，得． （II）． 由，得，又，所以， 即的取值范围是． 题型2 以简易逻辑为背景的不等式 以简易逻辑为背景的不等式，解题时往往以不等式为工具，来确定命题，用简易逻辑知识解决问题. 【例题2】设，则是的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解： 由题设可得: 故选(A) 题型3 与函数知识结合的不等式 与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具， 结合函数知识，通过推理来解决问题. 【例题3】设 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 解：故选(C) 题型4 与平面向量知识结合的不等式 与平面向量知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具， 结合平面向量知识和坐标运算，通过和坐标运算和推理来解决问题. 【例题4】设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解：设P(x，y)，则由得， 又点是线段上的一个动点， 故选(B) 题型5 与函数的导数知识结合的不等式 与函数的导数知识结合的不等式，解题时往往以不等式和函数的导数为工具， 结合函数知识，通过推理来解决问题. 【例题5】已知函数在与时都取得极值. （1）求、的值及函数的单调区间; （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 解： 极大值 极小值 所以函数的递增区间为与;递减区间为. 题型6 与数列知识结合的不等式 与数列知识结合的不等式，解题时往往以不等式和数列知识结合为工具， 结合函数知识，通过计算和推理来解决问题. 【例题6】设数列的前项和为，点均在函数的图像上. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 解：（I）依题意得，即. 当n≥2时， ; 当n=1时，×-2×1-1-6×1-5. 所以. （II）由（I）得， 故=. 因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10，故满足要求的最小整数m为 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，则，可得是奇函数， 又， 又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立； 当且仅当，即时等号成立； 故，可得是单调增函数， 由得， 即，即对恒成立. 当时显然成立；当时，需，得， 综上可得， 故选：D. 2．已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数. 对任意的， 问题 ， 记，则问题 因为，当且仅当时取“=”， 所以. 故选：D. 3．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：当有， ∵知：是两个不等的实根. ∴，而， ∵，即， ∴，令， 则， ∴当时，的最小值为. 故选：B 4．设函数，函数的对称轴为，若存在满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，函数的对称轴为， 可得，， 即有，， 则存在满足， 即为， 化为， 由，可得 ，即有整数， 当时，， 解得或. 故选：C. 5．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数，， 因为， 所以， 或， 因为 时，， 或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ， 所以. 故选：C. 6．已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当且仅当时，等号成立. 所求不等式转化为，设， ， ， 得， 设， 令，当时，， 当时，时取得极大值， 即为最大值为， 在是减函数，等价于， . 故选:B 7．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B