专题02 函数的基本性质-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

专题2函数的基本性质 考点解读 考点一 函数单调性的判断与应用 单调性是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题;对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大，这一部分在导数专题有详解. 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程: （1）能画出图像的函数用图像法，其思维流程为 （2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数用转化法，其思维流程为 【例1】已知函数y=f（x）在区间（-∞，0）内单调递增，且f（-x）=f（x），若a=f（lo3），b=f（2-1.2），c=f，则a，b，c的大小关系为（　　）. A.a>c>b　　　B.b>c>a　　　C.b>a>c　　　D.a>b>c 【解析】易知f（x）为偶函数，因为a=f（lo3）=f（-log23）=f（log23），且log23>，0<2-1.2<2-1=，所以log23>>2-1.2>0.又f（x）在区间（-∞，0）内单调递增，且f（x）为偶函数，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以f（log23）<f<f（2-1.2），即f（lo3）<f<f（2-1.2），所以b>c>a.故选B. 【答案】B 考点2 函数奇偶性的判断与应用 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图像对称性相结合在同一个题目中出现.主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目. 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法 （2）图像法 【例2】已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.  【解析】由题意可得f(-8)=-f(8)=-=-(23=-22=-4. 【答案】-4 考点3 函数的周期性、图像的对称性及应用 函数的周期性、图像的对称性的考查在高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，常将函数的奇偶性、函数的周期性、图像的对称性融合在一起进行考查，难度中档. （1）定义法判断函数周期性的求解策略 对于函数y=f（x），如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x），那么T就是函数y=f（x）的周期. （2）图像的对称性、函数的周期性、奇偶性的综合问题的求解策略 利用图像的对称性与函数的奇偶性，转化得到函数周期性的特征，进而求解. （3）重要结论 （1）对于定义在R上的函数f（x）: ①若有两条对称轴x=a，x=b，则f（x）是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ②若有两个对称中心（a，0），（b，0），则f（x）是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ③若有一个对称中心（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数且4|a-b|是它的一个周期. （2）若对于函数f（x）的定义域内任一个自变量的值x都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常数且a≠0），则f（x）是以2a为一个周期的周期函数. （3）对于函数y=f（x），若其图像关于直线x=a对称[a=0时，f（x）为偶函数]，则 ①f（a+x）=f（a-x）;②f（2a+x）=f（-x）;③f（2a-x）=f（x）. （4）对于函数y=f（x），若其图像关于点（a，b）中心对称，则 ①f（a+x）+f（a-x）=2b;②f（2a+x）+f（-x）=2b;③f（2a-x）+f（x）=2b. 【例2】已知f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）=-eax.若f（ln 2）=8，则a=　　　　.  【解析】当x>0时，-x<0，f（-x）=-e-ax.因为函数f（x）为奇函数，所以当x>0时，f（x）=-f（-x）=e-ax，所以f（ln 2）=e-aln 2==8，所以a=-3. 【答案】-3 专题强化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，所以， 所以 所以是周期函数，且周期为8，且关于对称， 又当时，， 则， 令，解得， 所以当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 作出一个周期内图象，如图所示： 因为为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解， 所以不等式在内有100个整数解， 因为周期为8，所以在内有25个周期， 所以在一个周期内有4个整数解， （1）若，由，可得或， 由图象可得有7个整数解，无整数解，不符合题意； （2）若，则，由图象可得，不满足题意； （3）若，由，可得 或， 由图象可得在一个周期内无整数解，不符合题