第10讲 二次函数-【中考启航】2022中考数学（广州专用）

当６０＜ｘ≤７０时，ｙ＝８８０－６ｘ，则ｙ＜８００－６×６０＝５２０， 由上可得，当ｘ＝６０时，ｙ取得最大值，此时ｙ＝５２０． ∵在（２）的条件下，超市在获得的利润额ｙ（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出２ａ元，乙种蔬菜每千 克捐出ａ元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于２０％， ∴５２０－２ａ×６０－４０ａ６０×１０＋４０×１４≥２０％， 解得：ａ≤１８， 即ａ的最大值是１８． 第１０讲　二次函数 知识梳理 １．ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ　ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ　ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２） ２．开口方向：当ａ＞０时，开口向上；当 ａ＜０时，开口向下．对称轴：直线 ｘ＝－ｂ２ａ；直线 ｘ＝ｈ；直线 ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． 顶点坐标： －ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４( )ａ ；（ｈ，ｋ）．最值：４ａｃ－ｂ ２ ４ａ ；ｋ．ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． ３．２　１　０ ４．注意对称轴位置，与ｘ轴交点的个数对ｃ进行分类；注意与ｙ轴的交点位置，对称轴位置要对ｂ进行分类 ５．ｙ＝２ｘ２－１　ｙ＝－２（ｘ＋３）２　ｙ＝－ｘ２　ｙ＝（ｘ－２）２－１或ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ 典型例题 例１　（１）直线ｘ＝１　（１，３）　（２）略 　（３）ｙ１＜ｙ２ 例２　（１）设ｙ＝ａ（ｘ＋２）（ｘ－１），可得ｙ＝２ｘ２＋２ｘ－４；（２）设ｙ＝ａ（ｘ－１）２－４，可得ｙ＝（ｘ－１）２－４；（３）设ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ，可得ｙ＝ｘ２－２ｘ－４． 例３　（１）把点Ｐ（－２，３）代入ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋３中， 解得ａ＝２， ∴ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋３， ∴顶点坐标为（－１，２）． （２）①当ｍ＝２时，ｎ＝１１； ②∵点Ｑ到ｙ轴的距离小于２， ∴ ｍ ＜２， ∴－２＜ｍ＜２， ∴２≤ｎ＜１１． 例４　（１）ＢＣ＝７２－２ｘ．（２）小英说法正确．理由如下： 矩形面积Ｓ＝ｘ７２－２( )ｘ＝－２ｘ( )－１８２＋６４８，当ｘ＝１８时，Ｓ取最大值，此时不是正方形． 基础检测 １．（１）Ａ　（２）Ｂ　（３）Ｃ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　２．Ｂ　３．（１）Ｃ　（２）Ｄ　（３）Ｃ ４．Ｃ　５．（１）Ｃ　（２）Ａ　 ６．（１）ｍ＝３　（２）（－１，０）（３，０）　顶点 （１，４）　（３）略　（４）－１＜ｘ＜３　（５）ｘ＞１ ７．（１）证明：当ｙ＝０时，２（ｘ－１）（ｘ－ｍ－３）＝０， 解得：ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ＋３． 当ｍ＋３＝１，即ｍ＝－２时，方程有两个相等的实数根； 当ｍ＋３≠１，即ｍ≠－２时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论ｍ为何值，该函数的图象与ｘ轴总有公共点； （２）解：当ｘ＝０时，ｙ＝２（ｘ－１）（ｘ－ｍ－３）＝２ｍ＋６， ∴该函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标为２ｍ＋６． ∴当２ｍ＋６＞０，即ｍ＞－３时，该函数的图象与ｙ轴的交点在ｘ轴的上方． ８．（１）由已知，代入Ａ（１，０），Ｂ（３，０）得解析式为ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３；（２）设直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，代入 Ｂ（３，０） 得３ｋ＋ｍ＝０，即ｍ＝－３ｋ，也就是Ｃ（０，－３ｋ）．所以Ｐ（３２， －３ｋ ２ ）．将Ｐ（ ３ ２， －３ｋ ２ ）代入ｙ＝－ｘ ２＋４ｘ－３，得ｋ＝－１２， 所以Ｐ（３２， ３ ４）．（３）由（２）知ＯＢ＝３，ＯＣ＝ ３ ２，所以ＢＣ＝ ３ ２＋（３２）槡 ２＝ 槡３５２，所以ｓｉｎ∠ＯＣＢ＝ ＯＢ ＢＣ＝ ３ 槡３５ ２ ＝ 槡２５５． ９．（１）设ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 代入表格中数据得 ２００＝７０ｋ＋ｂ， ２５０＝６５ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝－１０，ｂ＝９００{ ． ∴ｙ＝－１０ｘ＋９００． （２）设总利润为Ｗ，总利润＝（售价－进价）×销售量， ∴Ｗ＝（ｘ－５０）·ｙ，将ｙ＝－１０ｘ＋９００代入得 Ｗ＝（ｘ－５０）·（－１０ｘ＋９００）＝－１０ｘ２＋１４００ｘ－４５０００， ∴Ｗ＝－１０ｘ２＋１４００ｘ－４５０００． ∵ａ＝－１０＜０， ∴函数开口向下， 当ｘ＝－ｂ２ａ＝－ １４００ ２×（－１０）＝ １４００ ２０ ＝７０时， ５０２ !"#$% Ｗ有最大值为Ｗｍａｘ＝－１０×７０ ２＋１４００×７０－４５０００＝４０００， ∴售价为７０元时有最大利润，最大利润为４０００元． （３）∵成本增加ａ元， ∴成本为（５０＋ａ）元， ∴Ｗ′＝［ｘ－（５０＋ａ）］·ｙ＝（ｘ－５０－ａ）·ｙ， 将ｙ＝－１０ｘ＋９００代入得 Ｗ′＝（ｘ－５０－ａ）·（－１０ｘ＋９００）＝－１０（ｘ－９０）（ｘ－５０－ａ）， ∴Ｗ′＝－１０（ｘ－９０）（ｘ－５０－ａ）（６５≤ｘ≤８０）， ∴函数对称轴为ｘ＝１２×（９０＋５０＋ａ）＝７０＋ ａ ２， ∵－１０＜０， ∴抛物线开口向下，函数有最大值． ①当７０＋ａ２＞８０时， 则ｘ＝８０时，Ｗｍａｘ＝－１０×（８０－９０）×（８０－５０－ａ）＝３２４０，解得ａ＝－２４（舍去）．