第15讲 等腰三角形-【中考启航】2022中考数学（广州专用）

（３）存在，分以下两种情况： ①若Ｍ在ＢＣ上方，设ＭＣ交ｘ轴于点Ｄ，则∠ＯＤＣ＝４５°＋１５°＝６０°， ∴ＯＤ＝ＯＣ·ｔａｎ３０° 槡＝３，设ＤＣ为ｙ＝ｋｘ－３，代入Ｄ（槡３，０），可得ｋ 槡＝３． 联立方程可得 ｙ 槡＝３ｘ－３， ｙ＝１３ｘ ２－３{ ，解得 ｘ１＝０，ｙ１＝－３{ ，ｘ２ 槡＝３３，ｙ２＝６{ ， 所以Ｍ１（槡３３，６）； ②若Ｍ在ＢＣ下方，设ＭＣ交ｘ轴于点Ｅ，则∠ＯＥＣ＝４５°－１５°＝３０°， ∴ＯＥ＝ＯＣ·ｔａｎ６０° 槡＝３３，设ＥＣ为ｙ＝ｋｘ－３，代入Ｅ（槡３３，０）可得ｋ＝槡 ３ ３， 联立两个方程可得 ｙ＝槡３３ｘ－３， ｙ＝１３ｘ ２－３{ ，解得 ｘ１＝０，ｙ１＝－３{ ，ｘ２ 槡＝３，ｙ２＝－２{ ， 所以Ｍ２（槡３，－２）， 综上所述，Ｍ的坐标为（槡３３，６）或（槡３，－２）． 第四章　三角形 第１３讲　三角形 知识梳理 ２．（１）＝　（２）９０°　（３）１８０°　３．∠５　 ∠３　∠６　５．（１）大于　小于　（２）①１８０°　３６０°　②不相邻的两内角之和 　③大于　（３）等角　等边 典型例题 例１　如图： ∵∠１＝∠Ｄ＋∠ＤＯＡ，∠２＝∠Ｅ＋∠ＥＰＢ， ∵∠ＤＯＡ＝∠ＣＯＰ，∠ＥＰＢ＝∠ＣＰＯ， ∴∠１＋∠２＝∠Ｄ＋∠Ｅ＋∠ＣＯＰ＋∠ＣＰＯ＝∠Ｄ＋∠Ｅ＋１８０°－∠Ｃ＝３０°＋９０°＋１８０°－ ９０°＝２１０°． 例２　（１）∠ＤＡＥ＝１３°　（２）设∠Ｂ＝ｘ，∠Ｃ＝ｙ，则∠ＢＡＣ＝１８０°－ｘ－ｙ，∠ＢＡＤ＝９０°－ｘ， ∠ＢＡＥ＝１８０°－ｘ－ｙ２ ＝９０°－ ｘ ２－ ｙ ２， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ－∠ＢＡＤ＝ ９０°－ｘ２－ ｙ( )２ －（９０°－ｘ）＝ｘ－ｙ２ ＝∠Ｂ－∠Ｃ２ ，∴∠Ｂ－∠Ｃ＝２∠ＤＡＥ． （３）有类似的关系，∠Ｂ－∠Ｃ＝２∠Ｐ． 例３　（１）ｙ＝４ｘ＋４　 （２）ｙ＝１４ｘ＋ ３ ４．过点Ａ作ＢＣ的垂线交ｙ轴于点Ｄ，求点Ｄ的坐标，可以用△ＡＯＤ∽△ＣＯＢ求 出ＯＤ的长．（３）ｙ＝１２ｘ＋ ３ ２．设∠ＣＡＢ的平分线交ｙ轴于点Ｅ，求点Ｅ的坐标，设ＯＥ＝ｔ，则ＣＥ＝４－ｔ，过Ｅ作ＥＦ⊥ＡＣ于 Ｆ，则ＥＦ＝ｔ． 方法一：面积法，Ｓ△ＡＣＥ＝ １ ２·３·（４－ｔ）＝ １ ２·５·ｔ； 方法二：勾股定理，△ＣＥＦ为直角三角形，所以有（４－ｔ）２＝ｔ２＋４； 方法三：构造等腰三角形使用三线合一，取Ｇ（２，０），作ＣＧ中点Ｍ（１，２），则直线ＡＭ为所求． 基础检测 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ｂ　６．Ａ　７．８５°　８．２４０°　９．１３６°　１０．１ １１．（１）１２５°；３５°，５５°；（２）９０°＋１２ｘ， １ ２ｘ，９０°－ １ ２ｘ，９０°，９０°，证明略． １２．设∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝ｘ，∵ＡＣ∥ＢＤ，∴∠ＦＢＥ＝ｘ，∠ＣＢＥ＝１８０°－２ｘ． ∵ＣＥ⊥ＢＤ，∴∠ＢＣＥ＝２ｘ－９０°．又ＣＦ平分∠ＢＣＥ，∴∠ＢＣＦ＝ｘ－４５°． 在△ＢＣＦ中，∠Ｆ＝１８０°－∠ＢＣＦ－∠ＣＢＥ－∠ＦＢＥ＝１８０°－（ｘ－４５°）－（１８０°－２ｘ）－ｘ＝４５°． 注：延长ＣＢ，则∠Ｆ可看成是△ＢＣＥ的内角平分线ＣＦ与外角平分线ＢＦ相交而成，∠Ｆ＝１２∠Ｅ． 第１４讲　全等三角形 知识梳理 １．对应边　对应角 ２．ＳＳＳ　ＳＡＳ　ＡＳＡ　ＡＡＳ　ＨＬ 典型例题 例１　证明：如图，连接ＢＤ，ＡＥ． ∵ＦＢ＝ＣＥ， ∴ＢＣ＝ＥＦ． ２１２ % &' 又∵ＡＢ∥ＥＤ，ＡＣ∥ＦＤ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ， ＢＣ＝ＥＦ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＦ{ ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）， ∴ＡＢ＝ＤＥ． 又∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴四边形ＡＢＤＥ是平行四边形， ∴ＡＤ与ＢＥ互相平分． 例２　（１）易证△ＡＢＤ≌△ＣＡＥ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＤ． （２）∠ＢＮＭ＝∠ＡＢＮ＋∠ＢＡＮ＝∠ＣＡＥ＋∠ＢＡＮ＝６０°，又ＢＭ⊥ＡＥ，∴∠ＮＢＭ＝３０°，∴ＭＮ＝１２ＢＮ． 例３　方法一：在 ＡＢ上截取 ＡＥ＝ＡＣ，易证△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，∴ＥＤ＝ＣＤ，∠Ｃ＝∠ＡＥＤ．又∠ＡＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＥＤＢ＝ ２∠Ｂ，∴∠Ｂ＝∠ＥＤＢ，∴ＢＥ＝ＥＤ＝ＣＤ，∴ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ．方法二：延长ＡＣ至Ｆ使ＣＦ＝ＣＤ，连接ＤＦ，同样可证． 基础检测 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｂ　４．Ａ　５．Ｃ　６．Ａ ７．∵∠Ａ＝∠Ａ，ＡＤ＝ＡＥ，∴可以添加ＡＢ＝ＡＣ，此时满足ＳＡＳ； 添加条件∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ，此时满足ＡＳＡ； 添加条件∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ，此时满足ＡＡＳ， 故答案为ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ或∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ． ８．先证△ＡＣＢ≌△ＤＦＥ，得ＢＣ＝ＥＦ，则ＢＣ－ＥＣ＝ＥＦ－ＥＣ，即ＢＥ＝ＣＦ ９．（１）∵△ＡＣＢ和△ＥＣＤ都是等腰直角三角形， ∴ＣＤ