易错点04 导数及其应用-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点04 导数及其应用 易错点1：导数与函数的单调性 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 易错点2：导数与函数的极（最）值 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 易错点4：导数与函数的零点 研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。 考点一：含参函数的单调性 1．（2018·全国1卷）已知函数．(1)讨论的单调性； 【解析】(1)的定义域为，． （i） 若，则，当且仅当，时， 所以在单调递减． （ii）若，令得，或． 当时，； 当时，．所以在，单调递减，在单调递增． 2．（2017·全国2卷）已知函数，且．(1)求； 【解析】（1）的定义域为． 设，则，等价于． 因为，，故，而，，得． 若，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故． 综上，． 3．（2017·全国3卷）已知函数．(1)若，求的值； 【解析】（1）的定义域为． ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，； 当时，，所以在单调递减， 在单调递增， 故是在的唯一最小值点． 由于，所以当且仅当a=1时，．故a=1． 4．（2016·全国1卷） 已知函数有两个零点． （I）求a的取值范围； 【解析】（Ⅰ）． （i）设，则，只有一个零点． （ii）设，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，取满足且，则 ，故存在两个零点． （iii）设，由得或． 若，则，故当时，， 因此在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，．因此在上单调递减， 在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点．综上，的取值范围为． 5．（2019·全国3卷）已知函数，讨论的单调性； 【解析】（1）． 令，得x=0或. 若a>0，则当时，； 当时，． 故在单调递增，在单调递减； 若a=0，在单调递增； 若a<0，则当时，； 当时，． 故在单调递增，在单调递减. 考点二：零点问题 ★1．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【解析】令，则方程有唯一解， 设，，则与有唯一交点， 又，当且仅当时取得最小值2． 而，此时时取得最大值1， 有唯一的交点，则．选C．   3.（2019全国Ⅱ理20（1））已知函数,讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点； 【解析】f（x）的定义域为. 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）=，， 所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又，， 故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点． 4．(2016年全国Ⅰ)已知函数有两个零点． （I）求a的取值范围； 【解析】Ⅰ）． （i）设，则，只有一个零点． （ii）设，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，取满足且，则 ，故存在两个零点． （iii）设，由得或． 若，则，故当时，， 因此在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，．因此在上单调递减， 在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点．综上，的取值范围为． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数． (1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， ， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点． （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值， 最小值为． ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即． 又， 故在有一个零点． 设正整数满足， 则． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． 6.（2019全国Ⅰ理20（2））已知函数，为的导数．证明：有且仅有2个零点． 【