第06讲 指对幂函数-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第06讲 指对幂函数 【知识点总结】 一、指数的运算性质 当a>0，b>0时，有 (1)aman=am+n(m,nR)； (2)( m,nR) (3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)； (5)(pQ) (6)(m,nN+) 二、指数函数 (1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示. y=ax a>1 0<a<1 图象 (1)定义域：R (1)定义域：R 值域 (2)值域：(0,+) (2)值域：(0,+) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R上是增函数. (4)在R上是减函数. (5)0<y<1x>0 y=1x=0 y>1x<0 (5)0<y<1x<0 y=1x=0 y>1x>0 三、对数概念 ，叫做以为底的对数. 注：①，负数和零没有对数； ②； ③. 四、对数的运算性质 特殊地 五、对数函数 （1）一般地，形如的函数叫对数函数. （2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示. 图像 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是增函数 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是减函数 六、幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量. 七、幂函数的图像 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示. 八、幂函数的性质 当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则（ ） A． B． C． D． 例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）． A．log32 B． C．log23 D． 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且），其中a，b均为实数. （1）若函数的图象经过点，，求函数的解析式； （2）如果函数的定义域和值域都是，求的值. 例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）若，求的值． 例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于的不等式. 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数， （1）当时，求的值域； （2）若对，成立，求实数的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围． 例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当时，，函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：对任意，都有； （3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数． 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ） A．－ B．－ C．－ D．－6ab 3．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．15 4．（2022·全国·高三专题练习）若是指数函数，则有（ ） A．或 B． C． D．且 5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则（ ） A． B． C． D．3 6．（2022·浙江·高三专题练习）函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （ ） A． B． C． D．9 7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有（ ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 8．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 9．（2022·全国·高三专题练习）若满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算，若函数，则的值域是（ ） A． B． C． D． 11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 12．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ） A． B． C