专题13 二次函数与交点公共点综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题13二次函数与交点公共点综合问题 【例1】（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）． （1）写出A点坐标； （2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示） （3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系； （4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值． 【分析】（1）令y1＝0，得到x值即为A、B的横坐标， （2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标． （3）讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小． （4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，②当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，解得∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1得：﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n≠． 【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x+4）（x﹣n）， 令y1＝0，﹣（x+4）（x﹣n）＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝n， ∴A（﹣4，0）； （2）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n， ∴k1＝n2+2n+4， ∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9， ∴k2＝﹣n2+2n+9， （3）k1﹣k2＝n2﹣5， ①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2， 即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2； ②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2， 即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2； ③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2， 即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2； （4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b， 则， 由①﹣②得，k＝﹣1， ∴b＝﹣5n2+2n+9， 直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9． ①如图： 当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时， 联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得： （5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①， 联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得： x2+（4n﹣1）x＝0， 则x1＝0，x2＝1﹣4n②， 当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n， 把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得： 4n＝﹣5n2+2n+9， ∴5n2+2n﹣9＝0， ∴n＝， 此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点， 当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得： （5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9， 该方程判别式Δ＜0， 所以该方程没有实数根； ②如图： 当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时， 当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时， 联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得， ﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0， 此时Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0， ∴21n2+2n﹣27＝0， ∴n＝， 由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n， 当n＝时，1﹣4n≠0， ∴x1≠x2， 所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点， ③如图： 当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点， ∵x1＝0，x2＝1﹣4n， ∴n＝， 联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n