11 一道优化题的几何解法（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

,而理中孕生表理化 道优化题的几何解法 ■北京十一学校陈思齐 普林斯顿出版社2021年新版的《极小谓BX等于到B′的距离B"X,所 之妙》( When least is best)中,作者以该题转化为求AX+B'X的 Pual nahir在新版自序中用一个小题目来展最小值 现此书的风格。 根据两点之间直线距离最 如图1,A与B两座小城 短,可知最小值即AB′ 同处大江之一侧,现在江畔修 n=AB′=/AP2+PB 图2 筑一座水处理站向两城供水, (a+b)2+c2-(a-b)2 A、B距离大江分别为a和b, /c2+(a+b)2-(a-b)2 两城之间距离c。问水处理站 应该修在哪里,连接水站与两 城的供水管道才能最短 采用该方法,思路相比微分后求极限的解 作者提供的解法是经典的先列算式后微法更容易理解一些,并且大大减少了解题步骤 分求极值的方法。 由该解法可见,有时简单的几何变换可以得到 设供水管道长度为t,则据勾股定理得: 比使用复杂的数学工具更直观快速的解法。 /a2+ 下面我们再给出一个用平面几何可以直 观“看”到答案的例子。如图3所示,需要在 b2+[/c2-(a-b)2-x]2。 大江两侧A、B两城之间修一座桥,要求A、 由基本的微积分,可通过求t对x的微B两城间经过大桥的路径最短 分找t的最小值: 如图3所示,我们需要最 小化折线AEFB的长度,而 EF段是大桥的宽度,是不变 /c2-(a-b)2 的。我们在图中标出A′为A 以南距离桥面宽度的点,B'为 因为x出现在上面等式两侧分子、分母B以北距离桥面宽度的点 图 中,甚至在开平方内,所以较难求解。 可见FB长度与EB相等,所以问题转化成 然而,该等式左侧实际是cosa,而右侧求AE+EB'的最小值,根据三角形两边和大 为cosB,即dx=0→c0sa=cosB>a=B 于第三边,最小值是AB′,即将桥修在CD处 另一方面,如果我们把本文一开始优化 故c2 题目的要求修改一下,想要最小化AX和 21l2cos2a=li+li+241-2sina].BX的平方和,那么x就不再是AB和水平 线的交点,而是中点,解析证明如 S=AX2+BX2=(a2+x2)+[b2+(d c2=l12+l2+2l1l2 )2]=a2+b2+d2-2x(d-x) 4ab=(l1+l2)2-4ab。 S的最小值是当x(d-x)最大值时取 由此可得管道长度最小值 得,即当x=2,X为中点。可见,改变了题 本文提出一个更简单的几何做法如下 日要求后,要求简化含有平方的值时,平面几 何不易直观地显示,解析几何则更容易求解 如图2,设OD=d,设B为B城沿大江 (责任编辑徐利杰) 另一侧的对称点,则由供水站到B的距离