10 浅谈圆锥曲线中最值问题的求解策略（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

增盖,方片中孕生表理化 浅诙圖锥曲线中最值向题的求解策略 ■江西省赣州市第三中学王璐 在圆锥曲线中常常涉及与动点、动直线 为 0∈(0,π) 动弦、动角以及轨迹等有关的最值问题,这些 y=bsin 0. 最值问题覆盖面广、解题灵活,此类问题在近 由于P(x,y)是椭圆上的点,故W=x 几年的高考题中经常出现。它往往与二次函 a cos 6-+bsin 0=/a2+b sin(c+0) 数、三角函数等知识联系在一起,有一定的综 合性,不容易被同学们掌握。下面举例介绍 几种常见的解法,以供大家参考。 因此,W=x+y的最大值为/a2+b2。 一、转化为二次函数求最值 三、转化为斜率求最值 例在过动直线x+2y=t与定直线 侧3试求函数f(x) 2x-y=a的交点(其中t∈(0,3a1)的等轴 1—2 3-5 cos x 的最大值、最小值 双曲线系x2-y2=A中,当t取何值时,λ取 2sin r 得最大值与最小值? 分析:由于∫(x)= A Cos 分析:从双曲线系x2-y2=过两直线 的交点入手,建立λ与t的函数关系 看作经过点C(-3,-1)和点P(5cosx 2sinx)的直线的斜率,而P点的轨迹是椭圆 解:解方程组 得两直线交点 5+x=1,因此,(x)的最值就是过点C 坐标为Q(5,5 与椭圆一+=1上任一点的直线斜率的最 因为双曲线系x2-y2=过点Q,所以λ 值。 解:设CA、CB是 椭圆的两条切线,如图 1,故f(x)的最大值为 t∈(0,3a kcA,f(x)的最小值为 设过C与椭圆 图 由0<t≤3a,得 1相切的切线的斜率为k,则切线方程可 故t 设为 点评:本题是将所求问题转化为λ关于t 消去y得 的二次函数的最值问题,然后分类讨论求解。 二、转化为三角函数求最值 (4+5k2)x2+10kmx+5m2-20=0。 侧2设P(x,y)是椭圆xx 由△=0,得m=±/5k2+4。可求得切 1(a>b>0)在x轴上方的点,求W=x+y 线方程为y=kx±/5k2+4。 的最大值 因为切线过点C(-3,-1),所以 士/5k2+4 a2b2=1的参数方程 解析:椭圆+y 中学生数理代三数学经魏率方 解得k≈3+/2 得 故x的最大值为13,最小值为-13 故f(x)的最大值为 f(x)的 五、利用均值不等式求最值 例5双曲线 1与双曲线 最小值为3=21 -=1的离心率分别为e1和e2,且a> 四、转化为截距求最值 例4已知x,y满足+≤1,求 0,b>0,当a,b变化时,求e2+e2的最小值 3x的最值 解析:e1+ 分析:将所给的函数式改 /a2+b2 写为y=3x+z,则它表示斜率 为3的平行直线系方程,是直 线在y轴上的截距。由图2易 d102=2+916=4,当且仅当a=b时等 知,在区域 成立 所以e+e2的最小值为4。 的最大值、最小值分别在直线 点评:此题的a,b都是变量,根据其结构 与椭圆相切时取得。 图 特征,利用均值不等式能迅速求出e+e2的 小值。均值不等式是解最值问题的一种有 效途径,但要注意验证等号是否成立 169x2+96xx+16z2-400=0 责任编辑徐利杰) (上接第40页) 又点P是AB的中点,所以 C的右焦点且斜率为1的直线l被椭圆C截 得弦长AB,求弦AB的长度。 k=2→>k=4 解析:因为椭圆的右焦点为F(2,0),所 以直线l的方程为y=x-2。 所以直线AB的方程为4x-y-15=0。 整理得 代入椭圆C的方程{x2y=1 化简 0,则 y1y: 由弦长公式 得,AB 由韦达定理知 由于直线l过椭圆的右焦点,由椭圆 点评:求弦的中点有两种常用方法:一是的定义可知,弦长|AB|=2a 利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件 故弦AB的长度为 是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差 构造中点坐标和斜率的关系求解 点评:在解决直线与圆锥曲线的弦长问 三、焦点弦长问题 题时,通常应用韦达定理与弦长公式,若涉及 焦点弦长问题,则可利用焦半径公式求解,可 倒3已知椭圆(:1612=1,过椭圆大大简化运算过程 (责任编辑徐利杰