09 浅谈圆锥曲线三类弦长问题（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

中学生数理代三数学经魏率方 浅谈圆锥曲线三类弦长问题 ■河南省许昌科技学校刘少英 在高考中,圆锥曲线的综合问题常以直 发与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知 故弦AB的长度为5 识为主体进行考查。而直线与圆锥曲线的弦 点评:本题抓住l1的特点,便可得出方 长问题是圆锥曲线中常见的一种题型,下面程①,再根据e得方程②,从而求得a2,b2,进 对圆锥曲线中出现的有关弦长问题进行简单 步得出椭圆的方程。解决直线与圆锥曲线 的探究。 的弦长问题时,常用到韦达定理与弦长公式 般弦长计算问题 二、中点弦长问题 例已知椭圆C:+=1(a>b> 例2过点P(4,1)作抛物线 y=8.x 的弦AB,恰被点P平分,求AB的所在直线 直线 被椭圆C截得的弦长方程及弦AB的长度 分析:因为所求弦过定点P,所以求弦 为2/2,且c=6 过椭圆C的右焦点且斜率AB所在直线的方程关键是求出斜率k。由 为/3的直线l2被椭圆C截得弦AB 于点P是弦AB的中点,所以可用作差法或 (1)求椭圆的标准方程; 韦达定理求得,然后套用弦长公式可求解 (2)弦AB的长度 解法1:设以P为中点的弦AB的端点 坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。 分析:先把直线l2的方程代人椭圆方 则y2 8x2,两式相减,得( 程,再利用韦达定理和弦长公式求解。 y2)(y1+y2)=8(x1-x2) 解:(1)由直线l1被椭圆C截得的弦长 则k 为2/2,得a2+b2=8。① 4。所求直线AB的方程为y-1 所以a2=3b2。② 联立①②,得a2 整理得 所求椭圆的标准方程为6+2=1 (2)已知椭圆的右焦点为F(2,0),可设 30=0,则y1+y2=2,y1y2=-30。由弦长公 直线l2的方程为y=/3(x-2) 式得,AB|=/1+|y1-y 代入椭圆C的方程,化简得 (y1+y2)2-4y1y 由韦达定理知,x1+x2 解法2:设AB所在的直线方程为 整理得 26 ky2-8y-32k+8=0 由弦长公式,得|AB|=/1+k21x1-x2 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 (下转第42页) 中学生数理代三数学经魏率方 解得k≈3+/2 得 故x的最大值为13,最小值为-13 故f(x)的最大值为 f(x)的 五、利用均值不等式求最值 例5双曲线 1与双曲线 最小值为3=21 -=1的离心率分别为e1和e2,且a> 四、转化为截距求最值 例4已知x,y满足+≤1,求 0,b>0,当a,b变化时,求e2+e2的最小值 3x的最值 解析:e1+ 分析:将所给的函数式改 /a2+b2 写为y=3x+z,则它表示斜率 为3的平行直线系方程,是直 线在y轴上的截距。由图2易 d102=2+916=4,当且仅当a=b时等 知,在区域 成立 所以e+e2的最小值为4。 的最大值、最小值分别在直线 点评:此题的a,b都是变量,根据其结构 与椭圆相切时取得。 图 特征,利用均值不等式能迅速求出e+e2的 小值。均值不等式是解最值问题的一种有 效途径,但要注意验证等号是否成立 169x2+96xx+16z2-400=0 责任编辑徐利杰) (上接第40页) 又点P是AB的中点,所以 C的右焦点且斜率为1的直线l被椭圆C截 得弦长AB,求弦AB的长度。 k=2→>k=4 解析:因为椭圆的右焦点为F(2,0),所 以直线l的方程为y=x-2。 所以直线AB的方程为4x-y-15=0。 整理得 代入椭圆C的方程{x2y=1 化简 0,则 y1y: 由弦长公式 得,AB 由韦达定理知 由于直线l过椭圆的右焦点,由椭圆 点评:求弦的中点有两种常用方法:一是的定义可知,弦长|AB|=2a 利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件 故弦AB的长度为 是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差 构造中点坐标和斜率的关系求解 点评:在解决直线与圆锥曲线的弦长问 三、焦点弦长问题 题时,通常应用韦达定理与弦长公式,若涉及 焦点弦长问题,则可利用焦半径公式求解,可 倒3已知椭圆(:1612=1,过椭圆大大简化运算过程 (责任编辑徐利杰