08 聚焦双变量“存在性或任意性”问题（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

中学生数理代三数学经魏率方 聚焦双变量“存在性或任意性”问题 ■广东省汕头市澄海凤翔中学徐春生 双变量“存在性或任意性”问题是高考命 题的热点,它沟通了不等式与函数、方程之间 3,6的子集,因此 的密切关系。解决双变量“存在性或任意性” 1)≤6, 问题的关键就是将含有全称量词或存在量词 的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关 f(1)≤6 系(或两个函数最值之间的关系),目的在于 解得-2≤a≤0。 培养同学们的逻辑推理素养和良好的数学思 故实数a的取值范围是[-2,0]。 维品质 点评:形如“对任意x1∈A,都存在x2∈ 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈ ,使得f(x1)=g(x2)成立”,采用等价转化 B,使得f(x1)=g(x2)成立” ,即¨函数∫(x)的值域是g(x)的值域的子 例/已知函数f(x)=3x2+2x ”,从而利用包含关系构建关于参数的不等 a2-2a,g(x) 若对任意x1∈ 式组,求得参数的取值范围 -1,1],总存在x2∈[0,2],使得f(x1) 二、形如“存在x1∈A及x2∈B,使得 g(x2)成立,求实数a的取值范围 f(x1)=g(x2)成立 解析:函数f(x)的图像的对称轴是x 例2已知函数f(x)=2x,x∈ 所以函数f(x)在 数g(x)=kx-2k+2(k>0) 2×3 递。)上单调递减,在(3上单调x∈[.1.若存在1∈0,1 2」及x2∈ 使得f(x1)=g(x2)成立,求实数 所以当 的取值范围 解析:由题意,易得函数f(x)的值域为 函数g(x)在[0,2]上单调递增,所以当[0,13,g(x)的值域为2-2k,2-3k 3;当x=2时,g(x)m 两个值域有公共部分。 若这两个值域没有公共部分,则2 故函数g(x)在[0,2]上的值城为2k>1或2-2<0,解得k2成k>3 所以要使这两个值域有公共部分,必须 由题意可知,函数f(x)的值域是满足2≤k≤± 增盖,方片中孕生表理化 故实数k的取值范围是 即“f(x)m≤g(x)m”,从而构建关于参数的 不等式,求得参数的取值范围 点评:形如“存在x1∈A及x2∈B,使得 五、形如“存在x1∈A及x2∈B,使得 ∫(x1)=g(x2)成立”,采用补集法,即“函数 f(x1)>g(x2)成立 f(x)与g(x)的值域的交集不为空集” 三、形如“任意x1∈A及x2∈B,使得 例5已知函数f(x)=1n(x2+1 成立 g(t) m,若对彐x1∈[0,3],x 例3已知函数f(x)=2x,函数∈[1,2],使得f(x1)>g(x2),则实数m的 g(x)=kx-2k+2(k>0),若任意x1∈取值范围是 02」及x∈[0,1,使得f(x1)=g(x2)成 解析:依题意知f(x)mx>g(x)mm 易知函数∫(x)在[0,3]上单调递增,所 立,则实数k的取值范围是 以当x=3时,f(x)mx=ln10 解析:由题意,易得函数f(x)的值域为 [0,1],g(x)的值域为[2-2k,2-k]。由题 因为g(x)=(1)-m在[1,2]上单调 意可知,f(x)的值域和g(x)的值域相等。递减,所以当x=2时,g(x)m 2-2k=0 所以 ,解得k=1 解得 故实数k的取值范围是{1}。 ∈B,使得 故实数m的取值范围是(—1n10,+∞ f(x1)=g(x2)成立”,采用等价转化法, :形如“存在x1∈A及x2∈B,使得 ∫(x)的值域和g(x)的值域相等”,从而构f(x1)>8(x2)成立”,采用最值法,即 建关于参数的方程组,求得参数的取值范围。“f(x)=>g(x)m”,从而构建关于参数的不 四、形如“对任意x1∈A,都存在x2∈等式,求得参数的取值范围 B,使得f(x1)≤g(x2)成立” 六、形如“任意x1∈A及x2∈B,使得 例4已知函数f(x)=x+4,g(x)f(x1)≤g(x2)成立 2x+3 =2+a,若Vx1∈ 例6已知函数f(x) ,彐x2∈[2,3],使 g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4], 得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是都有f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数m的取 值范围是 解析:依题意知f(x)m≤g(x)ms 解析:依题意知f(x)m≥g(x)mx 因为f(x)=x+一在 上单调递 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2。因为 x∈[1,4],所以当x=1时,f(x)mm=2。因 减,所以当x=时,f(x) 为g(x)=log2x+m在[1,4]上单调递增, 所以当x=4时,g(x)mx=2+m。 因为g(x)=2+a在[2,3]上单调递 因此,2≥2+m,解得m≤0,故实数m 增,所以当x=3时,g(x)mx=8+a 的取值范围是(-∞,0 因此,≤