07 向量的代数和几何双重角色在圆锥曲线中的应用（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

增盖,方片中孕生表理化 向量的“代数和八何”双重角色在圆雒茁线中的应用 ■人大附中深圳学校张红红 向量有长度有方向,最初被应用于物理 因为AF1 言,所 学,是能满足平行四边形法则的几何对象;同 时向量也能用坐标表示,它身着二维形式的3F1,BF=3(a-c)。 外衣,能进行加减运算,又能表示解析几何中 的有向线段。因为它兼具“代数和几何”双重 因此,|BF2|=x+ 角色,所以求解圆锥曲线题时我们要突出几 设AF1的中点为H,则F2H⊥AB, 何直观和代数运算的融合,才会有更好的思 a-c,BH/≈5 路。下面举例加以说 一、通过几何直观抓住图形特征 AH2=|F2B|2-|BH|2,即4c2-(a-c)2 例/(202 年河北秦皇島 整理可得7c2-12ac+5a2=0,即7e2 模)椭圆C: 12c+5=0,解得c=7或1(舍去),选A。 y=1(a>b>0) 二、通过代数形式参与坐标运算 的左、右焦点分别 侧2(2021年河北邯郸二模)椭圆 图1 1(4>b>0)的左、右焦点分别为 F1的直线l交椭圆C于A、B两点,已知 F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于A、B (AF+F1F)·A广=0,AF=4FB,则两点,交y轴于点M,若F1F2|=2,△ABF 的周长为8 椭圆C的离心率为() (1)求椭圆C的标准方程 2)MA=A FIA, MI 3 λ十〃是否为定值,若是,求出这个定值;否 分析:尽管向量式(AF2+F1F2)·AF 则,请说明理由 =0较为复杂,但是描述的是△AF1F2的 分析:观察两向量式MA=AF1A,MB= 条边对应向量的关系,而这三个向量隐含着 AF1+F1F2+F2A=0的关系,所以通过代 F1B,结构简单且对称,不存在再化简的必 要。倘若将过点F1的直线l设成点斜式后, 入消元,将原式化简得出△AF1F2为等腰三 点M的坐标可以用斜率k表示,A,B两点 角形。从而抓住图形特征找到含a,b,c的关的坐标可设为“A(x1,y1),B(x2,y2)”,接下 系式,进而求得离心率。 来按设而不求的方法可将向量式转化成韦达 解:如图1,设|F1F2|=2c。 定理中两根之和与两根之积的形式,最后算 因为(AF2+F1F2)·AF=(AF2+得定值 F1F2)·(AF2+F2F1)=(AF2+F1F2) 解:(1)因为△ABF2的周长为8,所以 (AF2F1F2)=AF2-F1F2=1AF22-4a=8 又|F1F2|=2c=2,易得椭圆C的标准 F1F2|2=0,所以AF2=|F1F2|=2 则AF1|=2a-2c 方程为4+3= 中学生数理代三数学经魏率方 (2)由题意可得,直线l的斜率存在,联0),B(4,0)为焦点,且以4/5为长轴的椭圆 过点F的直线l与椭圆C的方程得 上,易得曲线C的方程为+=1 消去y可得(3+4k2)x2 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y)。 因为B(4,0),且B在椭圆内,所以过B 8k2x+4k2-12=0。 的直线l与椭圆有两个交点 2 则 由EM=A1MB,可得(x1,y1-y0) 3+4k y1),解得 4k2-12 3+4k 设M(0,k),又F1(-1,0),所以MA 将M的坐标代入椭圆的方程可得 x1,y1-k),F1A=(x1+1,y1) 又MA=AF1A,故 整理可得4λ2+40x1+20-5y=0 同理,MB=(x2,y2-k),F1B=(x2+ 又EM=入1MB,EN=入2NB,同理可得 可得 4A2+40A2+20-5y0 所以 是方程4x2+40.x+20 故入 5ya=0的两根 由韦达定理可得λ1+入 3+4k23+4k2 .I?t.It? 则A1+λ2为定值-10 3+4k23+4k2 、让几何直观和代数运算相得益彰 所以λ+g为定值 侧4(2021年浙江衢州二模)已知平 面向量a,b,c,d,若|a|=b|=/3,a·b 4,|b+d 1,则 西上饶二模)如图2,在平 c+d|的最大值是 面直角坐标系xOy,AB 为半圆ADB的直径,O 分析:本题乍一看与圆锥曲线没有关系 为圆心,且A 而由m-n的几何意义可知,该式表示共起 B(4,0),G为线段OD的 点的两向量终点间的距离。于是通过向量式 的变形后会发现|c-( 中点。曲线C过点G,动点P在曲线C上运 椭圆的定义有关。例如,倘若将各向量起点 动且保持|PA|+PB|的值不变 放在原点,上式能表示向量c的终点到a的 (1)求曲线C的标准方程; 终点之间的距离与其到向量-a终点间距离 (2)过点B的直线l与曲线C交于M、N 之和为4,从而得出向量c的终点轨迹为椭 两点,与OD所在直线交于E点,EM 圆。然后利用数形结合将c+d转化成已知 入1MB,EN=入2N方