06 解析几何运算繁,优化技巧来帮忙（解题篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

增盖,方片中孕生表理化 解析几何运算繁,优化技巧来帮忙 ■人大附中深圳学校王欢庆 解析几何一直是高考重点考查的内容之的距离是坐标原点O到直线l的距离的3 其核心思想就是用代数运算解释几何位倍,计算原点到直线的距离肯定比计算一个 置关系,是数形结合的完美体现。高考中主非原点到直线的距离更方便一些,从而优化 要考查同学们的逻辑推理、直观想象、数学运了点到直线的距离的求解过程,比第一层在 算三大数学核心素养,尤其是对数学运算的计算上优化一些。大家可以再深入挖掘一下 考查要求较高。许多同学在备战高考时 这个几何图像,在面积的表示上有没有更好 看到解析几何大题就避而远之,因为担心运的方法呢? 算不仅浪费很多时间而且常常无功而返。下 第三层,我们可以以P点和直线l所过 面以近几年的热点问题为载体,结合学习经的定点(0,1)为底,以A,B两点横坐标之间 验整理出来几个可以优化运算的小技巧,供的距离为高,表示所求三角形的面积,从而避 大家参考,希望可以为同学们备战高考助力 免了求点到直线的距离,使计算过程更得到 例/(2021届长 春一模)如图1,已知椭 解析:(1)设A(x1,y1)B(x2,y2),联立 圆x2+=1,直线l: 直线方程与椭圆方程可得 y=kx+1分别与x轴 y轴交于M、N两点, 与椭圆交于A、B两 化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,则 点 (1)若AM=NB,求直线l的方程; 4+k2 4+k2° (2)若点P的坐标为(0,-2),求△PAB 面积的最大值。 所以AB中点坐标为( +k24+k 思路点拨:第一问,不少同学不知如何将 ≠0)。 为MN的中点”。通过已知条件,利用解析点坐标为(-11(0,1),可得MN的中 AM=NB有效地转换为相关代数式的运算 由M 其实可以将AM=N理解为“AB的中点即 几何中常见的定式运算即直线与椭圆方程联 立,结合韦达定理,得到两中点重合的等式方 因为AM=NB,所以线段MN的中点 程,从而求解直线的斜率,得到直线方程 2k 第二问,面积的表示方法常见思维有以与AB的中点重合,即 下三个层面的形式。 24+k2° 第一层,也是大部分同学在初学时最容 解得k=±2。 易想到的一层,利用弦长公式求出AB的弦 长,再利用点到直线的距离公式求出点P到 (2)由(1)可知S△PB=2×3×1x1-x2 直线l的距离,以AB弦长作底,以点P到直 线l的距离为高,表示△PAB的面积即可 第二层,有的同学注意到点P到直线 中学生数理代三数学经魏率方 因为/k2+3≥,所以根据y=xx 解。该运算有时计算量偏大,我们不妨提前 在草稿纸上把x1+x (x≥/3)的单调性可知/k2+3+ 弦长的公式,从而得到如下公式 4 /1+k2|x1 /1+ (此处的a和Δ为直线与椭圆方程联立 ,当k=0时,△PAB的面积取最大值得到的关于x的一元二次方程的二次项系数 3/3 和其根的判别式,有别于椭圆标准方程中的 a,需要引起注意) 例2(2021届浙江 以上两种变式在求圆锥曲线中的弦长 时,同学们要灵活掌握,根据具体情况进行取 模拟)已知椭圆C: 舍,从而优化运算,提高解题的准确率 =1(a>b>0),且椭圆上 解析:(1)由题意,得a-c=b,则(a 的点到一个焦点的最短距 离为 (1)求椭圆C的离心率; (a2-c2),即2c2-3ac+a2=0,亦即2 (2)若点M(,2)在椭圆C上,不过 合0 1,解得 原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点 与直线OM相交于点N,且N是线段AB的 所以椭圆C的离心率为。。 中点,求△OAB面积的最大值。 (2)由(1)得a=2c,则b2=3c2。 思踣点拔:第二问,直线OM的方程为y 将M(3 代入椭圆方程 当直线l的斜率不存在时,AB的中 1,解得 点不可能在直线y=x上,故直线l的斜率 所以椭圆的方程为x+y 存在。设直线l的方程为y=kx+m(m≠ 易得直线OM的方程为y 1联立消掉 设A( 当直线l的斜率不存在时,AB的中点 y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求出 N不可能在直线y=2x上,故直线l的斜率 AB的中点N 4km 3+4k23+4k2 推 存在。 2<m</12,且m≠0,利用弦长公式 设直线l的方程为y=kx+m(m≠0) 以及三角形的面积公式,结合基本不等式即 可求出面积的最大值。本题要强调的是关于 1联立,消y得 弦长运算的优化运算技巧,常常在草稿纸上 (3+4k2 8kmx+4m2-12=0。 完成,一般弦长公式为:/1+k2|x1-x 所以△=64k2m2-4(3+4k2)(4m /1+k2·/(x1+x2)2-4x1x2,再利用韦达 12)=48(3+4k2-m2)>0。 定理计算出的两根之和与两根之积代入求 (下转第