03 近五年高考全国卷椭圆高频考点及命题背景解读（知识篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

中学生数理化迟数学如结与周 近五年高考全国卷橢圆高频考点及命题背景解读 四川省巴中中学肖斌(正高级教师、特级教师) 解析几何是高中数学的重点和难点,也是义十分青睞,并依照各自的主次地位分别作 历年高考试卷中的高频考点,题型通常为“两出掌握、理解、了解等不同层面的评价要求 小一大”,分值在22分左右。需要注意的是, 教科书上所讲授的椭圆第一定义是:平 2020年全国Ⅰ卷、Ⅲ卷文、理数学及2021年全面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常 国新高考I卷、卷(文理同卷)数学相继出现数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆。 “三小一大”新动向,虽然这些试卷中解几总体反之,若M为椭圆上的点,则|MF1|+ 难度有所降低,但是问题情境的创新度却更MF2|=2a。对此考点,高考要求“掌握”甚 强、分数权重也更高,已提升至27分左右。 至“熟练掌握”。其考查方式主要有:(1)利用 高考中以选择题、填空题及解答题第 定义判定平面内与两定点的距离之和为定长 小问的方式侧重于解析几何基础知识的综合 点的轨迹是否为椭圆;(2)利用定义求焦点 考查,主要涉及直线与直线、直线与圆的位置三角形的周长、面积、弦长和离心率等;(3)利 关系,圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质 用定义求折线段的和(或差)的最值。 等,通常为中档题,偶尔也出现偏易或偏难的 椭圆的第二、第三定义在教科书中虽然 小题。解答题着重以椭圆或抛物线为载体是以例题、习题渗透的方式呈现,但高考试卷 (2021年全国新高考Ⅰ卷罕见地以双曲线为 也非常重视对它们的考查,以此为背景的考 载体),以直线与圆锥曲线的位置关系为主题常考常新、频繁亮相,本专题将在后续真题 线,结合函数、方程、不等式、平面向量、导数解析中分散介绍,请同学们认真领会、适度 等主体知识,在解答题第二小问中进行综合“理解”或“了解” 性、应用性、创新性能力考查,主要集中在轨 迹方程、曲线性质、弦长(或线段、面积)、定点 侧!(2019年全国Ⅲ卷理数、文数第 (或定值定线)、最值(或范围)以及存在性问15题)设F1,F2为椭圆C:2g+=1的两 题。每年必考一道圆锥曲线解答题,分值12 个焦点,M为椭圆C上一点且在第一象限 」,在次压轴题甚至压轴题的位置出现 若△MFF2为等腰三角形,则M的坐标为 椭圆作为圆锥曲线的基础知识与核心内 容,因其知识覆盖面广、思维含量高、综合性 解析:不妨设F1、F2为椭圆C的左、右 强、运算量大,历来是高考考查的“重中之焦点,在椭圆C中a=6,b=2/5,c=4 重”,也是令不少同学望而生畏的数学“软 由于M为椭圆C 点且在第一象限, 肋”。现就近五年高考全国卷中椭圆高频考 可得|MF1|>|MF2|。 点及命题背景进行全面梳理与深刻解读,旨 因为△MF1F2为等腰三角形,则 在为同学们指点迷津、助力提升 ①|MF F1F2|=2c=8,|MF2 高频考点一椭圆的定义问题 2a-MF 定义是数学最本质、最基础的知识,对系 ②|MF F2|=2c=8,|MF1 统深入的后续学习具有举足轻重的作用。现2a-MF2|=4(不合题意,舍去) 行教材和近几年高考全国卷对椭圆的三种定 设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0 如如与中学生理化 0),下面介绍两种求法。 焦半径|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0,巧 (解法一,以焦点三角形面积为“桥梁”) 记:“下加上减”;(3)焦半径中以长轴端点的焦 则S△M12=2·F1F2|·y=4y。 半径最大和最小(近日点与远日点) 高频考点二焦点三角形问题 4 侧2(2021年全国高考甲卷理数第 所以4y。=4/15,解得y=/15,即M(x 15题、文数第16题)已知F1,F2为椭圆C: 164 1的两个焦点,P,Q为椭圆C上关 代入椭圆方程,得36+20=1,解得于坐标原点对称的两点,且PQ|=1F1F21, x。=3或x0=-3(舍去)。 则四边形PF1QF2的面积为。 解析:(解法一,利用平面几何性质及椭 的坐标为(3,/15) 圆定义求解,通法)由平面几何的性质知,对 利用焦半径公式) 角线互相平分的四边形是平行四边形,对角 易得离心率为e 虔相等的平行四边形是矩形 则由焦半径公式,有MF1|=a+exo 已知P,Q为椭圆C上关于坐标原点对 称的两点,且PQ|=|F1F2|,所以四边形 6+x0=8,解得x0=3,进而y=/15 PF1QF2为矩形 故M的坐标为(3,/15) 由 =1,得a=4,b= 命题背景:将人教A版选修2-1P47例 6引申拓展即得椭圆的第二定义,即在平面 内,点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到 定直线l:x=一的距离的比是常数e=(0 e<1),则点M的轨迹是焦点在x轴,长轴48+2mm,所以mn=