02 四种命题间的相互关系及真假性判断（知识篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

中学生数理化迟数学如结与周 四和命题间的相互天系及真假性判断 ■湖北省黄梅县小池镇第一中学钱敏刚 命题的概念 般地,我们把用语言、符号或式子表达 的,可以判断真假的语句叫作命题。其中判 断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句 叫作假命题。其实任意一个命题都可以写成 “若p,则q”的形式,通常把这种形式命题中 右? 的p叫作命题的条件,q叫作命题的结论 注意:(1)一个数学命题要么是真命题 三、判断四种命题间的真假关系 要么是假命题,但不能既真又假。(2)数学中 表2 有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形 原命题逆命题否命题逆否命题 式,但是把它的表述作适当改变,也可以写成 真 “若p,则q”的形式。这样就能很快分清命题 的条件和结论。 真真假假 真假真 二、几种命题的定义 假 表1 名称 由上表可知四种命题的真假性之间有如 定义 下关系 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同 互逆命题别是另一个命题的结论和条件那么我们把这的真假性 样的两个命题叫作互逆命题。其中的一个命 ②两个命题为互逆命题或互否命题,它 题叫作原命题,另一个叫作原命题的逆命题 们的真假性没有关系; 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰 3由于原命题与其逆否命题的真假性相 好是另一个命题条件的否定和结论的否定,我 同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,当 互否命题们把这样的两个命题叫作互否命题。如果把 直接证明或判断原命题困难时,可以转化成 其中的一个命题叫作原命题,那么另一个叫作判断或证明其逆否命题的真假 原题的否命题 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰 四、精彩例题解析 好是另一个命题结论的否定和条件的否定,我 侧!下列的四个命题中,真命题是 互为逆否命题们把这样的两个命题叫作互为逆否命题。如 果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个叫 A.已知实数x、y满足 则 作原命题的逆否命题 因此,写出一个命题的其他三种命题的x>1.y>1 步骤如下: B.若∠AOB=2∠AOC,则OC是∠AOB (1)分析命题的条件和结论; 的平分线 (2)将命题写成“若p,则q”的形式; C.已知a1、b1、c1、a2、b2、C2均为非零实 (3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自数,不等式 的结构形式写出这三种命题。 a2x2+b2x+c2>0的实数解集分别为M和 注意事项:如果原命题含有大前提,在写 出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必 须注意各命题中的大前提不变 望。如皇中学生款理化 D.已知实数x满足0< 相等。 逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角。 解析:对于A。当x=2,y=4时满足 否命题:若两个角不是对顶角,则它们不 相等 x+y>2 但不满足x>1,y>1,所以是假 逆否命题:若两个角不相等,则它们不是 对顶角 命题。 对于B。假命题,当OC不在∠AOB的 方法总结:由原命题写出其他三种命题 的关键是找到原命题的条件和结论,根据其 内部时,结论不成立。 他三种命题的定义,确定所写命题的条件和 对于C。如不等式x2+2x-3>0的解 结论 集是{x|x<-3或x>1},不等式-x2 2x+3>0的解集是{x|-3<x<1},故C也 例了命题“若xy≠-6,则x≠2或y 是假命题 ≠-3”的否命题是()。 A.若xy≠-6,则x=2或y=-3 对于D。因为0<一≤1,解得x>1,所 B.若xy≠-6,则x=2且y=-3 以是真命题。 C.若xy=-6,则x=2或y=-3 因此,本题选D D.若 方法总结:要判断一个命题为真命题,需 解析:命题“若xy≠-6,则x≠2或y≠ 要严格的证明,而要判断一个命题为假命题 3”的否命题是: 只需举一个反例即可。选项A举了一个反 若xy=-6,则x=2且y=-3 例 y=4;选项B为假也举一个反例 方法总结:(1)原命题的否命题需否定原 当OC不在∠AOB的内部时,结论不成立 命题的条件和结论;命题的否定只需直接否 选项C也举了系数比为负数时不成立的反例。 定结论 侧2把下列命题写成“若p,则q”的 (2)常见的一些词语和它们的否定词语 形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命对照表,如表3 题 (1)正数的平方根不等于0 多有至少有 原词等于(=)大于(>小于(<是都是 (3)对顶角相等 否定不等于不大于不小于 匝少有一个也 不是不都是 解析:(1)原命题:若一个数是正数,则这词语(≠ 个数的平方根不等于0 例4命题“已知a,b∈R,若a2+b2= 逆命题:若一个数的平方根不等于0,则0,则a=b=0”的逆否命题是()。 这个数是正数。 已知a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2 否命题:若一个数不是正数,则这个数的 平方根等于O。 B.已知a,b∈R,若a=b≠0