01 例谈椭圆的定义及其应用（知识篇）-《中学生数理化》高二数学2021年12月刊

中学生数理化迟数学如结与周 例茯拥圆的定义及共应用 陕西省礼泉县第一中学魏文宏 一、椭圆的定义 其中a>b>0,且 1.椭圆的第一定义 我们把平面内到两个定点F1F2的距离之 b为常数。 和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭 两定点为A(0,-a),B(0,a),当a>0 圆。这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两 时,则 焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距。 其数学表达式 其数学表达式:集合P 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}, M|kM·kMn },其中a>b>0,且a F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数 b为常数。 (1)若a>c,则集合P为椭圆; 性质:过原点的直线与椭圆交于两点A (2)若a=c,则集合P为线段; B,椭圆上异于A,B任意一点与A,B连线 (3)若a≤c,则集合P为空集 2.椭圆的第二定义 的斜率之积也是这一负常数 平面内到定点F的距离与到定直线l的 二、椭圆定义应用举例 距离之比为常数e(0<e<1)的点的集合,定 1.求轨迹方程 点F为椭圆的焦点,定直线为椭圆的准线, 例/若F1(3,0),F2(3,0),点P到 焦点在x轴上时,对应准线为x=±,焦点F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程 在y轴上时,对应准线为y=± 解析:因为|PF1|+|PF2|=10 其数学表达式: F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1,F2为 集合P={M|MF=},其中MF|是焦点的椭圆,其中a=5,=83,b 点到定点的距离,d是点到定直线的距离。 注:e为椭圆的离心率,与焦点F(C,0) 故点P的轨迹方程为+16=1 对应的准线方程为x=—,与焦点F( 侧2如图1所示,圆O的入 半径为定长r,A是圆O内一个定 对应的准线方程为xC= ;与焦点(0,C)对 点,P是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l和半径OP相交 应的准线方程为y=一,与焦点(0,—c)对应 于点Q,当点P在圆上运动时,占图1 的准线方程为 Q的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 3.椭圆的第三定义 C.抛物线 平面内与两定点连线的斜率之积为一负常 解析:连接QA。由已知条件可得 数(除-1外)的动点轨迹为椭圆(不含两定点) LQA I P|,所以QO|+QA|=|QO 两定点为A(-a,0)和B(a,0),a>O 又因为点A在圆内,所以|OA 其数学表达式:集合P OP|。根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是 以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆,故选 望。如皇中学生款理化 侧3已知B,C是两个定点,BC F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2 6,且△ABC的周长等于16,则定点A的轨 迹方程为。 解析:PF1|=4,由椭圆的第一定义知 解析:建立直角坐标系,使x轴经过点 PF1|+|PF2=2a=6,所以|PF2|=2 B,C,原点O与线段BC的中点重合 侧7已知△ABC的顶点B,C在椭 由已知|AB|+|AC 圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点, BC|=6得,AB|+|AC|=10。 故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则 △ABC的周长为 所以c=3,a=5,b=/a 解析:设椭圆的另一个焦点为F,则 BF+BA=CF+CA=2a 当点A在直线BC上,即y=0时,A, 所以△ABC的周长为BC|+|BA|+ B,C三点不能构成三角形。 CA|=4a=4/3。 故点A的轨迹方程是+=1(y≠0) 注:过椭圆一焦点的直线与椭圆的两交 侧4点M与定点F(2,0)的距离与点与椭圆另一焦点围成的三角形周长为定值4a。 它到定直线x=8的距离之比为1:2,则点 例8已知椭圆4+y2=1,P是椭圆 M的轨迹方程是 解析:由椭圆的第二定义知动点M的轨 的上顶点,过点P作斜率为k的直线交椭圆 迹为椭圆,焦点在x轴上,且满足 于另一点A,设点A关于原点的对称点为B, 若直线PA,PB的斜率分别为kA,kPB,则 a2解得 解析:由已知可知椭圆的焦点在x轴上 由椭圆的第三定义及性质得: 故点M的轨迹方程为16+12=1 侧5(2010年北京卷)在平面直角坐 例9已知椭圆C:+y=1(a> 标系中,点B与点A(-1,1)关于原点对称, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左、右顶点 P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等 分别为M、N,过F2的直线l交椭圆C于A, 于—-,则动点P的轨迹方程为 B两点(异于M,N),△AF1B的周长为 解析:由椭圆的第三定义得,P的轨迹为 3,且直线AM与AN的斜率之积为-3 焦点在x轴上的椭圆。 则椭圆C的方程为() 设椭圆方程为 6=1(x≠±1),则: B.+ 解得 解析:由△AF1B的周长为43,可知 所以点P的轨迹方程为x2+3y2