专题09 全等三角形常见辅助线作法（精讲精练）-2022年中考数学之三角形核心考点突破（课件+精讲精练）

专题09 全等三角形常见辅助线作法 一、解答题 1．阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 2．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长AD到M，使得DM＝AD； ②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中； ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 4．阅读下面材料，完成(1)-(3)题. 数学课上，老师出示了这样一道题: 如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N. 探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明. 同学们经过思考后，交流了自己的想法: 小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.” 小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.” 小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.” ...... 老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.” （1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明; （2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明; （3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）. 5．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围． 请你回答： （1）在图①中，中线AD的取值范围是　 　． （2）应用上述方法，解决下面问题 ①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围． ②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论． 6．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q，使得DQ＝AD； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____