第03讲 函数的概念-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第03讲 函数的概念 【知识点总结】 一、函数的概念 设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x) x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素 构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数. 二、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 三、函数的值域 求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法. 需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 四、函数的解析式 求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数； （2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围； （3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式； （4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ） A．3 B．1 C．0 D． 例2．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． （多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有个 C．若，则 D．与是同一函数 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 例6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为______． 例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式： （1）已知f(＋1)＝x＋2； （2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； （3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)． 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ） A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x| B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2 C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝± D．M＝R，N＝R，f：x→y＝ 2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是 A． B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝的定义域是（ ） A． B． C． D．． 4．（2022·全国·高三专题练习）函数y的定义域为（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3） 5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域