解密10 不等式（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密10 不等式 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 不等式的性质与一元二次不等式 选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查. 基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记. 不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查. 2019课标全国Ⅰ 1 2019课标全国Ⅱ 1 2019课标全国Ⅱ 6 2019课标全国Ⅲ 1 2018课标全国Ⅰ 2 2018课标全国Ⅲ 12 ★★★★ 线性规划 2020课标全国Ⅰ 13 2020课标全国Ⅲ 13 2018课标全国Ⅰ13 2018课标全国Ⅱ14 ★★★★ 基本不等式 考点一 不等式的性质与一元二次不等式 题组一 不等式的性质 ☆技巧点拨☆ 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间． 2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． 3．解含参数不等式要正确分类讨论． 例题1．对于任意实数 、 、 、 ，下列四个命题中：①若 ， ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ， ，则 .其中真命题的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于①，若 ， ，则 ，①错； 对于②，若 ，则 ，②错； 对于③，若 ，则 ，由不等式的基本性质可得 ，③对； 对于④，取 ， ， ， ， ，④错.故选：A. 例题2．下列说法中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 对于选项A，由 ，可得 ， ，则 ，故选项A成立； 对于选项B，取 ，则 ，故选项B不正确； 对于选项C，取 ，若 ，则 ，故选项C不正确； 对于选项D，若 ，则 ，所以 ，故选项D不正确.故选：A. 例题3．正数 ， 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】：因为正数 ， 满足 所以 所以 当且仅当 ，即 ， 时取等号 所以 若不等式 对任意实数 恒成立 则 对任意实数 恒成立即 对任意实数 恒成立 因为 所以 故选：A. 例题4 ．若不等式 的解集为R，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】∵不等式 的解集为R， 当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意； 当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式 的解集为R， 则 ，解得 ， 综合①②可得，实数a的取值范围是 ．故选：B． 例题5．若对任意的 恒成立，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】：因为对任意的 恒成立， 所以对任意的 恒成立， 因为当 ， ，所以 ， ， 即m的取值范围是 故选：A 例题6．已知 ，函若数 在 总有 且 ，则 取值范围是（ ） A．[6，+∞) B． C．[12，+∞) D．(6，12] 【答案】B 【分析】 在 上恒成立即 在 上恒成立， 故 在 上恒成立， 当 时， ， 当 时， ，故 ，所以 在 上恒成立， 令 ， 令 ，则 ，而 在 为增函数， 故 ，所以 ，故 ， 所以 在 的最小值为 ，故 . 因为 恒成立， 故 对于任意 恒成立， 所以 即 .故选：B. 考点二 基本不等式及应用 ☆技巧点拨☆ 基本不等式的常用变形 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立． ＋ (4)a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． ≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋ 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知 ，求函数 的最大值。 1. 解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项， 2. ， EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求 的最大值。 ：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时， 的最大值为8。 评注：