专题一：圆-2021-2022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义【要点梳理+典例精析+提升拔高】北师大版

2021-2022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义 专题一：圆 【要点梳理+典例精析+提升拔高】北师大版 1、圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2、将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母 d 表示。 6、在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7、在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 8、在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d＝2r，r ＝ d； 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2。 9、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10、圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11、圆的周长公式：C=πd 或 C=2πr，圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2。 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13、把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。 14、圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者 S=π（ ）²。 15、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17、一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是S=πR²－πｒ²或 S=π（R²－ｒ²）。（其中 R＝r＋环的宽度。） 18、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：Ｃ＝π ＋d 或Ｃ＝πr＋2r；圆周长的一半=πr。 19、半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝ πｒ²。 20、在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。 21、两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9。圆周长和直径的比是π：1，比值是π圆周长和半径的比是2π：1，比值是 2π。 22、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加 πａ厘米。 23、在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 24、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 25、扇形弧长公式：扇形的面积公式：（n 为扇形的圆心角度数，r 为扇形所在圆的半径）。 26、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 27、有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有2条对称轴的图形是：长方形；有3条对称轴的图形是：等边三角形；有4条对称轴的图形是：正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 28、直径所在的直线是圆的对称轴。 29、永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm2），体积是立方（例如：cm3）。 【例1】顶点在圆心上的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角．下面图形中，是圆心角的画“√”是圆周角的画“△”． 【分析】根据圆心角和圆周角的含义：顶点在圆心上，并且由两条半径围成的角是圆心角；顶点在圆上的角叫做圆周角；据此解答即可． 【解答】解： 【点评】明确圆心角和圆周角的含义，是解答此题的关键． 【例2】从A到B有两条路线①和②，（如图）哪条路线更短些？先在正确的答案后面画“√”，再用合适的方式作出解释。 第①条路线短□； ②条路线短□，一样长□。 【分析】可以设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径是3厘米，①是一个大半圆的圆弧，②是一个中半圆圆弧和一个小半圆圆弧，根据圆周长的公式：C＝2πr，求出三个半圆弧的周长，由此即可比较。 【解答】解：设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径：1+2＝3（厘米）