专题10 压轴题中利用相似三角形解决有关的面积问题-2022年中考数学相似三角形梯级提分精练（全国通用）

专题10 压轴题中利用相似三角形解决有关的面积问题 【考情说明】 在中考压轴题中，常会考查与面积有关的计算以及面积的倍数关系，在解答此类问题时，常通过证明三角形相似，求得所求图形的底或高，进而求出面积；有时也会考查利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出所求图形的面积或倍数关系。 【例题透析】 例1.（2021·吉林长春·九年级期中）（探究）如图①，在△ABC中，点 、 、 分别在边 、 、 上， ， ． （1）求证： ． （2）若△ADE、 的面积分别为 和 ，则 的值为______． （拓展）如图②，在△ABC中，点 、 分别在边 、 上，点 、 在边 上，且 ， ．若△ADE、△DBF、 的面积分别为 ， ， ，则△ABC的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2） ；拓展：27 【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形BFED是平行四边形，得出BF=DE，由EF∥AB证出 ，从而得出 ，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根据SAS判定两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，求出对应边的比值； 拓展 过D作DM∥AC交BC于点M，先证明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面积，在证明△ADE∽△BDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比值，最后求出△ABC的面积． 【解析】（1）∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C， ∴BF=DE， ∵EF∥AB， ∴ ， ∴ ， ∵∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC（SAS）． （2）∵△ADE∽△EFC， ∴ ． 【拓展】 ．如图，过点D作DM∥AC交BC于点M， ∴∠DMF=∠C， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴四边形DFGE是平行四边形， ∴DF=EG，∠DFM=∠EGC， ∵∠DFM=∠C， ∴△AFM≌△EGC（AAS）， ∴S△DFM=S△EGC=5， ∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A， ∴△DAE∽△BDM（AA）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可证△ADE∽△ABC， ， ∴ ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似比的平方等于面积比求出答案即可． 例2.（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）（问题）如图①，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE，CA交于点F，若DE EF，AB 4，求AE的长．（提示：如图②，过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比，从而得到AE的长．请你按照这个思路完成解答．） （探究）在原问题的条件下，可以得到AF和AC的数量关系是 ． （拓展）如图③，在△ABC中，AD是中线，点E在线段AD上，且AE∶AD 1∶3，连结BE并延长，交AC于点F，若 ，则 ． 【答案】（1）1；（2） ；（3）14 【分析】（1）过点E作EH∥BC交AC于H，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，进而即可得到结论； （2）过点A作AM∥BC，交DF于点M，证明△AEM∽△BED，△AFM∽△CFD，即可得到结论； （3）作EG∥BC，FH∥BC，证明△AEG∽△ADC，△FEG∽△FBC，△FEH∽△BED，设DE=5EH=5x，可得 ， ，进而即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点E作EH∥BC交AC于H， ∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C， ∴△FEH∽△FDC， ∴ ， ∵DE＝EF， ∴ ， ∵BD＝DC， ∴ ， 同理得：△AEH∽△ABC， ∴ ， ∵AB＝4， ∴AE＝1； （2）过点A作AM∥BC，交DF于点M， ∴△AEM∽△BED， ∴ ， ∵BD=CD， ∴ ， ∵AM∥BC， ∴△AFM∽△CFD， ∴ ， ∴ ， 故答案是： ； （3）作EG∥BC，FH∥BC， ∴△AEG∽△ADC， ∴ ， ∵△FEG∽△FBC，BC=2DC， ∴ ， ∵△FEH∽△BED， ∴ ， 设DE=5EH=5x， ∵AE∶AD 1∶3， ∴AD=3AE， ∴DE=2AE， ∴AE=2.5x， ∴AH=1.5x， ∴ ， ∴ ×1= ， ∵△AHF∽△ADC， ∴ ， ∴ = ×25=15， ∴ 15-1=14， 故答案是：14． 【点评】本题考查了三角形综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【挑战压轴】 1．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F． （1）若点E为CD中点，AB＝ ，求AF的长．